Номер 13, страница 192 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны $1 \text{ см}$, вокруг прямой $c$, проходящей через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $L = 1$ см.

Ось вращения $c$ проходит через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$.

Перевод в систему СИ:
$L = 0.01$ м.

Найти:

$V$ — объем тела вращения.

$S$ — площадь поверхности тела вращения.

Решение:

Поскольку призма правильная, ее основаниями ($ABC$ и $A_1B_1C_1$) являются равносторонние треугольники, а боковые грани — квадраты, так как все ребра равны. Сторона основания $a = L = 0.01$ м, высота призмы $H = L = 0.01$ м.

Ось вращения $c$ проходит через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$. Обозначим эти середины как $M$ и $M_1$ соответственно. Так как призма прямая, ось вращения $MM_1$ перпендикулярна плоскостям оснований.

Тело вращения образуется при вращении всей призмы вокруг оси $MM_1$. Чтобы определить форму и размеры этого тела, рассмотрим поперечное сечение призмы плоскостью, перпендикулярной оси вращения, например, плоскостью основания $ABC$. Фигура, которую мы вращаем в этой плоскости, — это треугольник $ABC$, а центр вращения — точка $M$.

Чтобы найти объем и площадь поверхности тела вращения, нужно определить его форму. Тело вращения, полученное вращением призмы вокруг оси $MM_1$, будет иметь постоянное поперечное сечение вдоль всей высоты $H=MM_1$. Это сечение представляет собой фигуру, образованную вращением треугольника $ABC$ вокруг точки $M$.

Найдем максимальное расстояние от точек треугольника $ABC$ до центра вращения $M$. Это расстояние определит радиус тела вращения.

Расстояния от вершин треугольника до точки $M$:

• $M$ — середина $BC$, поэтому $MB = MC = \frac{a}{2} = \frac{0.01}{2} = 0.005$ м.
• $AM$ — медиана и высота в равностороннем треугольнике $ABC$. Ее длина: $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{0.01\sqrt{3}}{2}$ м.

Сравним расстояния: $\frac{0.01\sqrt{3}}{2} \approx 0.00866$ м, что больше $0.005$ м. Следовательно, самая удаленная от оси вращения точка — это вершина $A$ (и все точки на ребре $AA_1$).

Так как треугольник $ABC$ является связной фигурой, содержащей центр вращения $M$, то при его вращении вокруг $M$ будет заметена вся площадь круга с радиусом, равным максимальному расстоянию от $M$ до точек треугольника. Таким образом, тело вращения представляет собой сплошной цилиндр.

Радиус этого цилиндра $R = AM = \frac{0.01\sqrt{3}}{2}$ м.

Высота этого цилиндра $H_{цил} = MM_1 = H = 0.01$ м.

Объем тела вращения

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H_{цил}$.

Подставим наши значения:

$V = \pi \left(\frac{0.01\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 0.01 = \pi \cdot \frac{(0.01)^2 \cdot 3}{4} \cdot 0.01 = \pi \cdot \frac{0.0001 \cdot 3}{4} \cdot 0.01 = \frac{3\pi \cdot 10^{-6}}{4} = 0.75\pi \cdot 10^{-6}$ м³.

В сантиметрах: $V = \frac{3\pi}{4}$ см³.

Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{3\pi}{4} \cdot 10^{-6}$ м³ (или $0.75\pi$ см³).

Площадь поверхности тела вращения

Поверхность полученного цилиндра состоит из двух оснований (кругов) и боковой поверхности.

Площадь одного основания: $S_{осн} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{0.01\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3\pi \cdot 10^{-4}}{4} = 0.75\pi \cdot 10^{-4}$ м².

Площадь двух оснований: $S_{2осн} = 2 \cdot S_{осн} = 2 \cdot \frac{3\pi \cdot 10^{-4}}{4} = \frac{3\pi \cdot 10^{-4}}{2} = 1.5\pi \cdot 10^{-4}$ м².

Площадь боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = 2\pi R H_{цил}$.

$S_{бок} = 2\pi \left(\frac{0.01\sqrt{3}}{2}\right) \cdot 0.01 = \pi \cdot 0.01\sqrt{3} \cdot 0.01 = \pi\sqrt{3} \cdot 10^{-4}$ м².

Полная площадь поверхности тела вращения: $S = S_{2осн} + S_{бок}$.

$S = \frac{3\pi}{2} \cdot 10^{-4} + \pi\sqrt{3} \cdot 10^{-4} = \pi \left(\frac{3}{2} + \sqrt{3}\right) \cdot 10^{-4}$ м².

В сантиметрах: $S = \pi \left(\frac{3}{2} + \sqrt{3}\right)$ см².

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $\pi \left(\frac{3}{2} + \sqrt{3}\right) \cdot 10^{-4}$ м² (или $\pi(\frac{3}{2} + \sqrt{3})$ см²).