Номер 8, страница 192 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой, содержащей высоту $SH$ этой пирамиды.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида SABCD.
Все ребра равны a = 1 см.

Перевод в систему СИ:
a = 1 см = 0.01 м.

Найти:

V - объем тела вращения.
S - площадь поверхности тела вращения.

Решение:

Тело вращения, которое образуется при вращении правильной четырехугольной пирамиды вокруг ее высоты, является конусом. Вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды S, а основание конуса — это круг, описанный вокруг основания пирамиды (квадрата ABCD).

Для вычисления объема и площади поверхности этого конуса найдем его основные параметры: радиус основания r, высоту h и образующую l.

1. Образующая конуса l равна боковому ребру пирамиды. По условию, все ребра пирамиды равны 1 см, следовательно, $l = 1$ см.

2. Радиус основания конуса r равен половине диагонали квадрата ABCD. Сторона квадрата a = 1 см. Диагональ квадрата AC найдем по теореме Пифагора: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см. Тогда радиус $r = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

3. Высота конуса h совпадает с высотой пирамиды SH. Найдем ее из прямоугольного треугольника SHC (где SC - гипотенуза, SH и HC - катеты) по теореме Пифагора: $h = SH = \sqrt{SC^2 - HC^2}$. Подставим известные значения $SC = l = 1$ см и $HC = r = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см: $h = \sqrt{1^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь, зная все параметры конуса, можем найти его объем и площадь поверхности.

Объем тела вращения

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Подставим найденные значения $r = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см и $h = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см: $V = \frac{1}{3}\pi \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi\sqrt{2}}{12}$ см³.
Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi\sqrt{2}}{12}$ см³.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади его основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$): $S = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r + l)$. Подставим известные значения $r = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см и $l = 1$ см: $S = \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) = \pi \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1) = \pi \cdot (\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi \cdot (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi(1 + \sqrt{2})}{2}$ см².
Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $\frac{\pi(1 + \sqrt{2})}{2}$ см².