Номер 1, страница 191 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вокруг прямой $AA_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный.
Длина ребра куба $a = 1$ ед.
Ось вращения — прямая, содержащая ребро $AA_1$.

Найти:

Объем тела вращения $V$.
Площадь поверхности тела вращения $S$.

Решение:

Для решения задачи введем систему координат. Пусть вершина $A$ куба совпадает с началом координат $(0,0,0)$, а ребро $AA_1$ лежит на оси $Oz$. В этом случае осью вращения будет ось $Oz$. Поскольку куб единичный, его вершины будут иметь координаты в пределах от 0 до 1 по каждой оси.

Тело, которое образуется в результате вращения куба вокруг одного из его ребер, представляет собой прямой круговой цилиндр. Для нахождения объема и площади поверхности нам необходимо определить высоту этого цилиндра и радиус его основания.

Высота $H$ полученного цилиндра равна длине ребра куба, которое лежит на оси вращения. Таким образом, $H = a = 1$.

Радиус основания $R$ цилиндра равен максимальному расстоянию от точек куба до оси вращения $AA_1$. Наиболее удаленной от оси вращения является ребро $CC_1$. Расстояние от любой точки на ребре $CC_1$ до оси $AA_1$ (оси $Oz$) является постоянным и равным длине диагонали основания $AC$. $R = AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Таким образом, тело вращения — это прямой круговой цилиндр с высотой $H=1$ и радиусом основания $R=\sqrt{2}$. Теперь мы можем вычислить его объем и площадь поверхности.

Объем тела вращения

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$. Подставим найденные значения: $V = \pi (\sqrt{2})^2 \cdot 1 = \pi \cdot 2 \cdot 1 = 2\pi$

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площади двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$): $S = 2S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь одного основания, которое представляет собой круг радиусом $R=\sqrt{2}$: $S_{осн} = \pi R^2 = \pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi$

Площадь боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = 2\pi R H = 2\pi \cdot \sqrt{2} \cdot 1 = 2\pi\sqrt{2}$

Следовательно, полная площадь поверхности тела вращения равна: $S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 2\pi + 2\pi\sqrt{2} = 4\pi + 2\pi\sqrt{2} = 2\pi(2 + \sqrt{2})$

Ответ: Объем тела вращения равен $2\pi$ куб. ед., площадь поверхности равна $2\pi(2 + \sqrt{2})$ кв. ед.