Номер 19, страница 191 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения равнобедренной трапеции $ABCD$ с боковыми сторонами $AD$ и $BC$, равными 1 см, и основаниями $AB$ и $CD$, равными соответственно 2 см и 1 см, вокруг прямой $c$, содержащей среднюю линию этой трапеции.

Дано:

Равнобедренная трапеция $ABCD$.

Боковые стороны $AD = BC = 1$ см.

Основания $AB = 2$ см, $CD = 1$ см.

Ось вращения $c$ — прямая, содержащая среднюю линию трапеции.

Найти:

Объем тела вращения $V$.

Площадь поверхности тела вращения $S$.

Решение:

1. Нахождение высоты трапеции

Проведем из вершин $C$ и $D$ высоты $CH$ и $DK$ на основание $AB$. Так как трапеция равнобедренная, отрезки $AK$ и $HB$ равны.

$AK = HB = \frac{AB - CD}{2} = \frac{2 - 1}{2} = 0.5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADK$. По теореме Пифагора найдем высоту $h = DK$:

$h = \sqrt{AD^2 - AK^2} = \sqrt{1^2 - (0.5)^2} = \sqrt{1 - 0.25} = \sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

2. Вычисление объема тела вращения ($V$)

Для вычисления объема воспользуемся первой теоремой Паппа-Гульдина: $V = 2\pi \cdot d \cdot A$, где $A$ — площадь вращающейся фигуры, а $d$ — расстояние от ее центра масс (центроида) до оси вращения.

Площадь трапеции $ABCD$:

$A = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{2 + 1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$ см$^2$.

Ось вращения совпадает со средней линией трапеции, которая находится на расстоянии $\frac{h}{2}$ от каждого из оснований. Расстояние от оси вращения до основания $AB$ равно $r = \frac{h}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см.

Центроид трапеции лежит на ее оси симметрии. Найдем расстояние от центроида до большего основания $AB$ по формуле:

$y_c = \frac{h}{3} \cdot \frac{AB + 2 \cdot CD}{AB + CD} = \frac{\sqrt{3}/2}{3} \cdot \frac{2 + 2 \cdot 1}{2 + 1} = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{18} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$ см.

Расстояние $d$ от центроида до оси вращения (средней линии) равно:

$d = |r - y_c| = \left| \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{2\sqrt{3}}{9} \right| = \left| \frac{9\sqrt{3} - 8\sqrt{3}}{36} \right| = \frac{\sqrt{3}}{36}$ см.

Теперь можем вычислить объем:

$V = 2\pi \cdot d \cdot A = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{36} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{4} = \frac{2\pi \cdot 3 \cdot (\sqrt{3})^2}{36 \cdot 4} = \frac{18\pi}{144} = \frac{\pi}{8}$ см$^3$.

3. Вычисление площади поверхности тела вращения ($S$)

Площадь поверхности тела вращения состоит из площадей поверхностей, образованных вращением оснований $AB$ и $CD$, и боковых сторон $AD$ и $BC$.

а) Площадь поверхности от вращения оснований

Основания $AB$ и $CD$ при вращении вокруг средней линии образуют боковые поверхности двух цилиндров. Радиус вращения для обоих оснований одинаков и равен расстоянию от средней линии до основания: $r = \frac{h}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см.

Площадь от вращения $AB$:

$S_{AB} = 2\pi r \cdot AB = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2 = \pi\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь от вращения $CD$:

$S_{CD} = 2\pi r \cdot CD = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

б) Площадь поверхности от вращения боковых сторон

Боковые стороны $AD$ и $BC$ при вращении образуют две одинаковые поверхности. Для нахождения площади одной такой поверхности (например, от вращения стороны $BC$) воспользуемся интегральной формулой $S_{side} = \int 2\pi \rho(s) ds$, где $\rho(s)$ - расстояние от точки на кривой до оси вращения. В нашем случае ось вращения (средняя линия) проходит ровно через середину каждой боковой стороны.

Поместим трапецию в систему координат так, чтобы ось вращения (средняя линия) совпадала с осью $Ox$. Тогда вершины $B$ и $C$ будут иметь координаты $B(1, -\frac{\sqrt{3}}{4})$ и $C(0.5, \frac{\sqrt{3}}{4})$. Расстояние от точки $(x, y)$ до оси вращения равно $|y|$.

Площадь поверхности, образованной вращением отрезка $BC$, равна:

$S_{BC} = \int_{BC} 2\pi |y| ds$.

Эту площадь можно найти, используя вторую теорему Паппа-Гульдина: $S_{BC} = L \cdot 2\pi \cdot \rho_c$, где $L=1$ - длина отрезка $BC$, а $\rho_c$ - расстояние от центроида отрезка до оси вращения (с учетом абсолютного значения расстояния). Так как отрезок симметричен относительно своей середины, которая лежит на оси вращения, $\rho_c$ равно среднему абсолютному значению координаты $y$.

$\rho_c = \frac{1}{L} \int_0^L |y(s)| ds = \frac{1}{h/2} \int_0^{h/2} y dy = \frac{1}{h/2} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^{h/2} = \frac{h}{4}$.Это не совсем верно. Проще посчитать интеграл напрямую. Площадь, образуемая вращением отрезка прямой, соединяющей точки $(x_1, r_1)$ и $(x_2, r_2)$ вокруг оси $x$ - это боковая поверхность усеченного конуса, $S=\pi(r_1+r_2)L$. В нашем случае, y-координаты меняют знак. Вращение $BC$ создает две поверхности усеченных конусов, с общей нулевой вершиной на оси вращения.Разобьем отрезок $BC$ на две части его средней точкой, которая лежит на оси вращения. Каждая часть (длиной $L/2 = 1/2$) вращается, образуя коническую поверхность с радиусом основания $r_{max} = h/2 = \sqrt{3}/4$ и образующей $1/2$.Площадь такой конической поверхности $S_{cone} = \pi r L = \pi \cdot (\frac{\sqrt{3}}{4}) \cdot (\frac{1}{2}) = \frac{\pi\sqrt{3}}{8}$.Так как у нас две такие поверхности для отрезка $BC$, то $S_{BC} = 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{3}}{8} = \frac{\pi\sqrt{3}}{4}$ см$^2$.Так как боковых сторон две ($AD$ и $BC$), их общая площадь поверхности:

$S_{sides} = 2 \cdot S_{BC} = 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{3}}{4} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

в) Общая площадь поверхности

Суммируем все полученные площади:

$S = S_{AB} + S_{CD} + S_{sides} = \pi\sqrt{3} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} = \pi\sqrt{3} + \pi\sqrt{3} = 2\pi\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ:

Объем тела вращения $V = \frac{\pi}{8}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения $S = 2\pi\sqrt{3}$ см$^2$.