Номер 17, страница 191 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

этого треугольника вокруг прямой BH.

17. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения ромба ABCD со сторонами, равными 1 см, и острым углом $60^\circ$, вокруг прямой AB.

Дано:

Ромб ABCD

Сторона ромба, $a = 1 \text{ см}$

Острый угол ромба, $\alpha = 60^\circ$

Ось вращения - прямая AB

Перевод в систему СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем тела вращения $V$

Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

Для удобства проведем все расчеты в сантиметрах, а в конце представим результат в системе СИ.

Поскольку острый угол ромба $\angle DAB = 60^\circ$ и прилежащие стороны $AD=AB=1$ см, то треугольник $\triangle ABD$ является равносторонним. Высота ромба $h$, опущенная из вершины D на сторону AB, равна высоте этого равностороннего треугольника.

$h = a \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$.

Эта высота является постоянным расстоянием от стороны DC до оси вращения AB, а также максимальным расстоянием от точек на сторонах AD и BC до оси вращения.

Нахождение объема тела вращения

Для вычисления объема воспользуемся второй теоремой Паппа-Гюльдена: $V = 2\pi \cdot \bar{y} \cdot A$, где $A$ - площадь вращаемой фигуры (ромба), а $\bar{y}$ - расстояние от центроида фигуры до оси вращения.

1. Площадь ромба $A$:

$A = a^2 \sin(\alpha) = 1^2 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$.

2. Расстояние от центроида до оси вращения $\bar{y}$:

Центроид ромба находится в точке пересечения его диагоналей. Эта точка делит высоту ромба пополам. Следовательно, расстояние от центроида до стороны AB равно половине высоты ромба.

$\bar{y} = \frac{h}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \text{ см}$.

3. Объем $V$:

$V = 2\pi \cdot \bar{y} \cdot A = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\pi \cdot \frac{3}{8} = \frac{3\pi}{4} \text{ см}^3$.

Нахождение площади поверхности тела вращения

Поверхность тела вращения состоит из трех частей, образованных вращением сторон AD, DC и BC. Сторона AB лежит на оси вращения и вклада в площадь поверхности не дает.

1. Вращение стороны AD образует боковую поверхность конуса. Образующая конуса $l=a=1$ см, радиус основания $r = h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

$S_{AD} = \pi r l = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}\pi}{2} \text{ см}^2$.

2. Вращение стороны DC образует боковую поверхность цилиндра, так как сторона DC параллельна оси вращения AB. Радиус цилиндра $r = h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см, а высота цилиндра равна длине стороны $H=a=1$ см.

$S_{DC} = 2\pi r H = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \sqrt{3}\pi \text{ см}^2$.

3. Вращение стороны BC образует боковую поверхность конуса. Образующая конуса $l=a=1$ см, радиус основания $r = h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

$S_{BC} = \pi r l = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}\pi}{2} \text{ см}^2$.

4. Общая площадь поверхности $S$ является суммой площадей этих трех поверхностей:

$S = S_{AD} + S_{DC} + S_{BC} = \frac{\sqrt{3}\pi}{2} + \sqrt{3}\pi + \frac{\sqrt{3}\pi}{2} = 2\sqrt{3}\pi \text{ см}^2$.

Ответ:

Объем тела вращения: $V = \frac{3\pi}{4} \text{ см}^3$. В системе СИ: $V = \frac{3\pi}{4} \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$.

Площадь поверхности тела вращения: $S = 2\sqrt{3}\pi \text{ см}^2$. В системе СИ: $S = 2\sqrt{3}\pi \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.