Номер 11, страница 190 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения ромба ABCD со сторонами, равными 1 см, и острым углом $60^\circ$, вокруг прямой AC.

Дано:

Ромб ABCD

Сторона ромба, $a = 1$ см

Острый угол ромба, $\alpha = 60^\circ$

Ось вращения - прямая AC

Найти:

$V$ - объем тела вращения

$S$ - площадь поверхности тела вращения

Решение:

При вращении ромба ABCD вокруг его диагонали AC образуется тело, состоящее из двух одинаковых конусов, соединенных своими основаниями. Образующей $l$ каждого конуса является сторона ромба, радиусом основания $r$ — половина второй диагонали BD, а высотой $h$ каждого конуса является половина диагонали AC.

Сначала найдем параметры конусов: радиус основания $r$, высоту $h$ и образующую $l$.

Образующая конуса равна стороне ромба: $l = a = 1$ см.

Рассмотрим треугольник ABD. Так как $AB = AD = 1$ см и угол между ними $\angle BAD = 60^\circ$, то треугольник ABD является равносторонним. Следовательно, диагональ $BD = 1$ см.

Диагонали ромба в точке пересечения O делятся пополам и взаимно перпендикулярны. Радиус основания конусов $r$ равен половине диагонали BD:

$r = BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ см.

Высоту конуса $h = AO$ найдем из прямоугольного треугольника AOB по теореме Пифагора:

$h = AO = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{1^2 - (0.5)^2} = \sqrt{1 - 0.25} = \sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Объем тела вращения

Объем $V$ тела вращения равен сумме объемов двух одинаковых конусов. Формула объема одного конуса: $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.

$V = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{2}{3}\pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$V = \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{24} = \frac{\pi\sqrt{3}}{12}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{\pi\sqrt{3}}{12}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности $S$ тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух одинаковых конусов. Основания конусов находятся внутри тела и не учитываются при расчете площади поверхности. Формула площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi r l$.

$S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot \pi r l = 2 \cdot \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \pi$ см$^2$.

Ответ: $\pi$ см$^2$.