Номер 10, страница 190 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В прямоугольном треугольнике ABC $AC = 3$, $BC = 4 \text{ см}$, $\angle C = 90^\circ$. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого треугольника вокруг прямой AB.

Дано:

Прямоугольный треугольник $ABC$

Катет $AC = 3$ см

Катет $BC = 4$ см

$\angle C = 90^\circ$

Перевод в систему СИ:

$AC = 0.03$ м

$BC = 0.04$ м

Найти:

Объем тела вращения $V$

Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

Тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, состоит из двух конусов с общим основанием. Радиусом этого основания является высота $h_c$, опущенная из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$. Образующими конусов являются катеты треугольника $AC$ и $BC$.

1. Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.

2. Найдем высоту $h_c$, проведенную к гипотенузе. Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ см$^2$.

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_c$.

Приравняв два выражения для площади, получим:

$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_c = 6$

$h_c = \frac{2 \cdot 6}{AB} = \frac{12}{5} = 2.4$ см.

Эта высота является радиусом $R$ общего основания двух конусов: $R = h_c = 2.4$ см.

3. Найдем объем тела вращения. Объем тела равен сумме объемов двух конусов.

$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi R^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 (h_1 + h_2)$,

где $h_1$ и $h_2$ - высоты конусов, которые в сумме дают гипотенузу $AB$. То есть, $h_1 + h_2 = AB$.

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot AB = \frac{1}{3}\pi (2.4)^2 \cdot 5 = \frac{1}{3}\pi \cdot 5.76 \cdot 5 = \frac{28.8\pi}{3} = 9.6\pi$ см$^3$.

4. Найдем площадь поверхности тела вращения. Площадь поверхности равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов (общее основание находится внутри тела и в площадь поверхности не входит).

$S = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi R l_1 + \pi R l_2 = \pi R (l_1 + l_2)$,

где $l_1 = AC = 3$ см и $l_2 = BC = 4$ см - образующие конусов.

$S = \pi \cdot 2.4 \cdot (3 + 4) = \pi \cdot 2.4 \cdot 7 = 16.8\pi$ см$^2$.

Ответ: объем тела вращения $V = 9.6\pi$ см$^3$, площадь поверхности $S = 16.8\pi$ см$^2$.