Номер 3, страница 190 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения равно-стороннего треугольника ABC со сторонами, равными 1 см, вокруг прямой CH, содержащей высоту этого треугольника.

Дано:

Равносторонний треугольник $ABC$

Сторона треугольника $a = 1$ см

Ось вращения - прямая $CH$, содержащая высоту треугольника.

Найти:

Объем тела вращения $V$

Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

При вращении равностороннего треугольника $ABC$ вокруг оси, содержащей его высоту $CH$, образуется тело вращения, которое представляет собой конус. Определим параметры этого конуса.

Образующая конуса $l$ равна боковой стороне треугольника, то есть $l = a = 1$ см.

Радиус основания конуса $r$ равен половине основания треугольника $AB$, так как в равностороннем треугольнике высота является и медианой. Следовательно, $r = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$ см.

Высота конуса $h$ равна высоте треугольника $CH$. Найдем ее по формуле для высоты равностороннего треугольника со стороной $a$:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Объем тела вращения

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.

Подставим вычисленные значения $r = \frac{1}{2}$ см и $h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см:

$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi\sqrt{3}}{24}$ см$^3$.

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi\sqrt{3}}{24}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности конуса $S$ равна сумме площади основания ($S_{осн} = \pi r^2$) и площади боковой поверхности ($S_{бок} = \pi r l$).

Формула для полной площади поверхности: $S = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r+l)$.

Подставим известные значения $r = \frac{1}{2}$ см и $l = 1$ см:

$S = \pi \cdot \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} + 1\right) = \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{2}{2}\right) = \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3\pi}{4}$ см$^2$.

Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $\frac{3\pi}{4}$ см$^2$.