Номер 49, страница 189 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

49. Площадь поверхности шара, описанного около правильного тетраэдра, равна $9 \text{ см}^2$. Найдите площадь поверхности шара, вписанного в этот тетраэдр.

Дано:

Площадь поверхности описанного шара $S_{опис} = 9 \text{ см}^2$.

$S_{опис} = 9 \text{ см}^2 = 9 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 9 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

Найти:

Площадь поверхности вписанного шара $S_{впис}$.

Решение:

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4 \pi R^2$, где $R$ – радиус шара.

Пусть $R_{опис}$ – радиус шара, описанного около правильного тетраэдра, а $r_{впис}$ – радиус шара, вписанного в этот же тетраэдр.

Тогда площадь поверхности описанного шара равна $S_{опис} = 4 \pi R_{опис}^2$.

Площадь поверхности вписанного шара равна $S_{впис} = 4 \pi r_{впис}^2$.

Для правильного тетраэдра центры вписанной и описанной сфер совпадают. Этот центр делит высоту тетраэдра в отношении 3:1, считая от вершины. Расстояние от центра до вершины является радиусом описанной сферы ($R_{опис}$), а расстояние от центра до центра грани (точка касания вписанной сферы) является радиусом вписанной сферы ($r_{впис}$).

Таким образом, для правильного тетраэдра справедливо соотношение между радиусами:

$R_{опис} = 3 \cdot r_{впис}$

Найдем отношение площадей поверхностей вписанного и описанного шаров:

$\frac{S_{впис}}{S_{опис}} = \frac{4 \pi r_{впис}^2}{4 \pi R_{опис}^2} = \left(\frac{r_{впис}}{R_{опис}}\right)^2$

Подставим соотношение радиусов в эту формулу:

$\frac{S_{впис}}{S_{опис}} = \left(\frac{r_{впис}}{3 \cdot r_{впис}}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$

Отсюда можно выразить площадь поверхности вписанного шара:

$S_{впис} = \frac{1}{9} S_{опис}$

Подставим известное значение площади поверхности описанного шара:

$S_{впис} = \frac{1}{9} \cdot 9 \text{ см}^2 = 1 \text{ см}^2$

Ответ: $1 \text{ см}^2$.