Номер 42, страница 189 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

42. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен $\sqrt{3}$ см, а высота равна 3 см.

Дано:

Призма - правильная шестиугольная, описанная около цилиндра.
Радиус основания цилиндра, $r = \sqrt{3}$ см.
Высота цилиндра, $h_{цил} = 3$ см.

Перевод в систему СИ:
$r = \sqrt{3} \times 10^{-2}$ м.
$h_{цил} = 3 \times 10^{-2}$ м.

Найти:

Площадь боковой поверхности призмы, $S_{бок}$.

Решение:

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания призмы, а $h$ — её высота.

Поскольку правильная шестиугольная призма описана около цилиндра, их высоты равны. Таким образом, высота призмы $h$ равна высоте цилиндра: $h = h_{цил} = 3$ см.

Основанием призмы является правильный шестиугольник. Основание цилиндра — это круг, вписанный в этот шестиугольник. Следовательно, радиус основания цилиндра является радиусом окружности, вписанной в правильный шестиугольник. $r_{впис} = r = \sqrt{3}$ см.

Связь между стороной правильного шестиугольника $a$ и радиусом вписанной в него окружности $r_{впис}$ выражается формулой: $r_{впис} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставим известное значение радиуса $r_{впис}$ в формулу, чтобы найти длину стороны шестиугольника $a$: $\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Разделив обе части уравнения на $\sqrt{3}$, получаем: $1 = \frac{a}{2}$.

Отсюда находим, что сторона шестиугольника $a = 2$ см.

Теперь вычислим периметр основания призмы (правильного шестиугольника): $P_{осн} = 6 \cdot a = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Наконец, найдем площадь боковой поверхности призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 12 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 36 \text{ см}^2$.

Ответ: $36 \text{ см}^2$.