Страница 189 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

39. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 2 см. Площадь боковой поверхности призмы равна 48 $\text{см}^2$. Найдите высоту цилиндра.

Дано:

Призма – правильная четырехугольная, описана около цилиндра
Радиус основания цилиндра, $r = 2$ см
Площадь боковой поверхности призмы, $S_{бок.призмы} = 48 \text{ см}^2$

$r = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$S_{бок.призмы} = 48 \text{ см}^2 = 48 \times 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.0048 \text{ м}^2$

Найти:

Высоту цилиндра $h_{цилиндра}$

Решение:

Поскольку правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, ее основанием является квадрат. Основание цилиндра (окружность) вписано в этот квадрат. Высоты призмы и цилиндра равны. Обозначим эту высоту как $h$.

Сторона квадрата $a$, лежащего в основании призмы, равна диаметру вписанной в него окружности:$a = 2r = 2 \times 2 \text{ см} = 4$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок.призмы}$ равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $h$:$S_{бок.призмы} = P_{осн} \times h$.

Периметр основания (квадрата) вычисляется по формуле $P_{осн} = 4a$.$P_{осн} = 4 \times 4 \text{ см} = 16$ см.

Теперь из формулы площади боковой поверхности призмы выразим и найдем высоту $h$:$h = \frac{S_{бок.призмы}}{P_{осн}} = \frac{48 \text{ см}^2}{16 \text{ см}} = 3$ см.

Так как высота призмы равна высоте цилиндра, то $h_{цилиндра} = h = 3$ см.

Ответ: высота цилиндра равна 3 см.

40. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен $ \sqrt{3} $ см, а высота равна 3 см.

Дано:

Правильная треугольная призма, описанная около цилиндра.

Радиус основания цилиндра, $r = \sqrt{3}$ см.

Высота цилиндра, $h_{цил} = 3$ см.

Все данные представлены в согласованных единицах (сантиметры), перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Площадь боковой поверхности призмы, $S_{бок}$.

Решение:

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания призмы, а $h$ — её высота.

Поскольку правильная призма описана около цилиндра, их высоты равны. Следовательно, высота призмы $h = h_{цил} = 3$ см.

Основанием правильной треугольной призмы является равносторонний треугольник. Так как призма описана около цилиндра, то окружность основания цилиндра вписана в равносторонний треугольник, являющийся основанием призмы. Радиус этой вписанной окружности равен радиусу основания цилиндра, то есть $r = \sqrt{3}$ см.

Радиус $r$ вписанной в равносторонний треугольник окружности связан с его стороной $a$ формулой: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Выразим сторону треугольника $a$ из этой формулы и подставим известное значение радиуса: $a = r \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Теперь найдем периметр основания призмы (равностороннего треугольника): $P_{осн} = 3 \cdot a = 3 \cdot 6 = 18$ см.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности призмы, подставив найденные значения в формулу: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 18 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 54 \text{ см}^2$.

Ответ: $54 \text{ см}^2$.

41. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен $\sqrt{3}$ см, а высота равна 3 см.

Дано:

Призма — правильная треугольная, вписанная в цилиндр
Радиус основания цилиндра, $R = \sqrt{3}$ см
Высота цилиндра, $H = 3$ см

Найти:

Площадь боковой поверхности призмы, $S_{бок}$

Решение:

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — это периметр основания призмы, а $h$ — ее высота.

Так как правильная призма вписана в цилиндр, ее высота равна высоте цилиндра: $h = H = 3$ см.

В основании правильной треугольной призмы лежит равносторонний треугольник. Этот треугольник вписан в окружность, являющуюся основанием цилиндра. Радиус основания цилиндра является радиусом окружности, описанной около этого треугольника ($R$).

Связь между стороной равностороннего треугольника ($a$) и радиусом описанной около него окружности ($R$) определяется формулой:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Из этой формулы мы можем найти длину стороны треугольника $a$:
$a = R \cdot \sqrt{3}$

Подставляем заданное значение радиуса $R = \sqrt{3}$ см:
$a = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$ см.

Теперь найдем периметр основания призмы, который является периметром равностороннего треугольника:
$P_{осн} = 3a = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Наконец, вычисляем площадь боковой поверхности призмы, умножив периметр основания на высоту:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 9 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 27 \text{ см}^2$.

Ответ: $27 \text{ см}^2$.

42. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен $\sqrt{3}$ см, а высота равна 3 см.

Дано:

Призма - правильная шестиугольная, описанная около цилиндра.
Радиус основания цилиндра, $r = \sqrt{3}$ см.
Высота цилиндра, $h_{цил} = 3$ см.

Перевод в систему СИ:
$r = \sqrt{3} \times 10^{-2}$ м.
$h_{цил} = 3 \times 10^{-2}$ м.

Найти:

Площадь боковой поверхности призмы, $S_{бок}$.

Решение:

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания призмы, а $h$ — её высота.

Поскольку правильная шестиугольная призма описана около цилиндра, их высоты равны. Таким образом, высота призмы $h$ равна высоте цилиндра: $h = h_{цил} = 3$ см.

Основанием призмы является правильный шестиугольник. Основание цилиндра — это круг, вписанный в этот шестиугольник. Следовательно, радиус основания цилиндра является радиусом окружности, вписанной в правильный шестиугольник. $r_{впис} = r = \sqrt{3}$ см.

Связь между стороной правильного шестиугольника $a$ и радиусом вписанной в него окружности $r_{впис}$ выражается формулой: $r_{впис} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставим известное значение радиуса $r_{впис}$ в формулу, чтобы найти длину стороны шестиугольника $a$: $\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Разделив обе части уравнения на $\sqrt{3}$, получаем: $1 = \frac{a}{2}$.

Отсюда находим, что сторона шестиугольника $a = 2$ см.

Теперь вычислим периметр основания призмы (правильного шестиугольника): $P_{осн} = 6 \cdot a = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Наконец, найдем площадь боковой поверхности призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 12 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 36 \text{ см}^2$.

Ответ: $36 \text{ см}^2$.

43. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания и высота которого равны 3 см.

Дано:

Призма — правильная шестиугольная, вписанная в цилиндр

Радиус основания цилиндра, $R = 3$ см

Высота цилиндра, $H_{\text{цил}} = 3$ см

$R = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
$H_{\text{цил}} = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

$S_{\text{бок}}$ — площадь боковой поверхности призмы.

Решение:

Площадь боковой поверхности правильной призмы находится по формуле $S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h$, где $P_{\text{осн}}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.

Поскольку правильная шестиугольная призма вписана в цилиндр, ее высота равна высоте цилиндра, а ее основание (правильный шестиугольник) вписано в окружность основания цилиндра.

Высота призмы $h$ равна высоте цилиндра:

$h = H_{\text{цил}} = 3$ см.

Сторона правильного шестиугольника $a$, вписанного в окружность, равна радиусу $R$ этой окружности. В нашем случае радиус окружности — это радиус основания цилиндра.

$a = R = 3$ см.

Периметр основания призмы (правильного шестиугольника) равен произведению количества сторон на длину одной стороны:

$P_{\text{осн}} = 6 \cdot a = 6 \cdot 3 = 18$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности призмы, подставив найденные значения в формулу:

$S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h = 18 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 54 \text{ см}^2$.

Ответ: $54 \text{ см}^2$.

44. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиусом 2 см. Найдите его площадь поверхности.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед, описанный около сферы.

Радиус сферы $R = 2$ см.

$R = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Площадь поверхности параллелепипеда $S_{пов}$.

Решение:

Если прямоугольный параллелепипед описан около сферы, это означает, что сфера вписана в него и касается всех шести его граней.

В этом случае расстояние между каждой парой противоположных граней параллелепипеда равно диаметру вписанной сферы. Пусть измерения параллелепипеда (длина, ширина, высота) равны $a, b, c$.

Диаметр сферы $D$ равен двум ее радиусам $R$:

$D = 2R = 2 \times 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$

Следовательно, все три измерения параллелепипеда равны диаметру сферы:

$a = b = c = D = 4 \text{ см}$

Таким образом, данный прямоугольный параллелепипед является кубом со стороной $a = 4$ см.

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

$S_{пов} = 2(ab + bc + ac)$

Поскольку в нашем случае это куб ($a=b=c$), формула упрощается до:

$S_{пов} = 6a^2$

Подставим значение стороны куба $a = 4$ см в формулу:

$S_{пов} = 6 \times (4 \text{ см})^2 = 6 \times 16 \text{ см}^2 = 96 \text{ см}^2$

Ответ: $96 \text{ см}^2$.

45. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равна 54 $ \text{см}^2 $. Найдите радиус сферы.

Дано:

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, $S = 54 \text{ см}^2$.

$S = 54 \text{ см}^2 = 54 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 54 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.0054 \text{ м}^2$.

Найти:

Радиус сферы $R$.

Решение:

Прямоугольный параллелепипед, описанный около сферы, означает, что сфера вписана в этот параллелепипед. Сферу можно вписать в прямоугольный параллелепипед тогда и только тогда, когда он является кубом. Это следует из того, что сфера должна касаться всех шести граней, а значит, расстояние между каждой парой противоположных граней должно быть одинаковым и равным диаметру сферы $D$.

Пусть измерения параллелепипеда (длина, ширина, высота) равны $a, b, c$. Условие вписанной сферы означает, что $a=b=c$. Обозначим длину ребра этого куба через $a$. Диаметр вписанной сферы $D$ равен ребру куба, то есть $D=a$. Радиус сферы $R$ равен половине диаметра: $R = \frac{D}{2} = \frac{a}{2}$.

Площадь полной поверхности куба вычисляется как сумма площадей его шести граней. Каждая грань — это квадрат со стороной $a$ и площадью $a^2$. Следовательно, формула для площади полной поверхности куба имеет вид:

$S = 6a^2$

Используя данное из условия значение площади $S = 54 \text{ см}^2$, найдем длину ребра куба $a$:

$54 = 6a^2$

$a^2 = \frac{54}{6} = 9 \text{ см}^2$

Так как длина ребра — положительная величина, получаем $a = \sqrt{9} = 3 \text{ см}$.

Теперь, зная длину ребра куба, мы можем найти радиус вписанной сферы:

$R = \frac{a}{2} = \frac{3 \text{ см}}{2} = 1.5 \text{ см}$.

Ответ: $1.5 \text{ см}$.

46. Площадь осевого сечения цилиндра равна $1 \, \text{см}^2$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Дано:

Площадь осевого сечения цилиндра $S_{осевое} = 1 \text{ см}^2$.

$1 \text{ см}^2 = 1 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 10^{-4} \text{ м}^2$.

Найти:

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$.

Решение:

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d$.

Площадь осевого сечения вычисляется по формуле:

$S_{осевое} = d \cdot h$.

Согласно условию, $S_{осевое} = 1 \text{ см}^2$, а значит $d \cdot h = 1 \text{ см}^2$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

$S_{бок} = 2 \pi R h$, где $R$ – радиус основания цилиндра.

Зная, что диаметр $d$ равен двум радиусам ($d = 2R$), можно переписать формулу для площади боковой поверхности через диаметр:

$S_{бок} = \pi \cdot (2R) \cdot h = \pi d h$.

Из этого следует, что площадь боковой поверхности связана с площадью осевого сечения соотношением:

$S_{бок} = \pi \cdot (d \cdot h) = \pi \cdot S_{осевое}$.

Теперь подставим заданное значение площади осевого сечения:

$S_{бок} = \pi \cdot 1 \text{ см}^2 = \pi \text{ см}^2$.

Ответ: $ \pi \text{ см}^2$.

47. Площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в правильную треугольную призму, равна $6 \text{ см}^2$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около этой призмы.

Дано:

Призма — правильная треугольная.
$S_{вп}$ — площадь боковой поверхности вписанного в призму цилиндра, $S_{вп} = 6 \text{ см}^2$.
$S_{оп}$ — площадь боковой поверхности описанного около призмы цилиндра.

Единицы измерения даны в сантиметрах, и ответ требуется в тех же единицах, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Площадь боковой поверхности описанного цилиндра $S_{оп}$.

Решение:

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S = 2\pi rh$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота цилиндра.

Поскольку цилиндры вписаны и описаны около правильной треугольной призмы, их высоты равны высоте призмы. Обозначим эту высоту как $h$.

Основанием вписанного цилиндра является окружность, вписанная в основание призмы — правильный треугольник. Обозначим радиус этой окружности как $r$.

Основанием описанного цилиндра является окружность, описанная около того же правильного треугольника. Обозначим радиус этой окружности как $R$.

Площадь боковой поверхности вписанного цилиндра: $S_{вп} = 2\pi r h = 6 \text{ см}^2$.

Площадь боковой поверхности описанного цилиндра: $S_{оп} = 2\pi R h$.

Для любого правильного треугольника радиус описанной окружности $R$ в два раза больше радиуса вписанной окружности $r$. Это следует из формул для радиусов через сторону треугольника $a$:
$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$
Отсюда $\frac{R}{r} = \frac{a/\sqrt{3}}{a/(2\sqrt{3})} = 2$, следовательно, $R = 2r$.

Теперь выразим площадь боковой поверхности описанного цилиндра, используя это соотношение: $S_{оп} = 2\pi R h = 2\pi (2r) h = 2 \cdot (2\pi r h)$.

Мы знаем, что $2\pi r h = S_{вп}$, поэтому: $S_{оп} = 2 \cdot S_{вп}$.

Подставим известное значение площади боковой поверхности вписанного цилиндра: $S_{оп} = 2 \cdot 6 = 12 \text{ см}^2$.

Ответ: 12 см².

48. Высота правильного тетраэдра равна 4 см. Найдите площадь поверхности шара, описанного около этого тетраэдра.

Дано:

Высота правильного тетраэдра $H = 4$ см.

Перевод в СИ:

$H = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$.

Найти:

$S_{шара}$ — площадь поверхности описанного шара.

Решение:

В правильном тетраэдре центр описанной сферы совпадает с точкой пересечения высот. Эта точка делит каждую высоту в отношении 3:1, считая от вершины тетраэдра.

Следовательно, радиус $R$ шара, описанного около правильного тетраэдра, составляет $3/4$ от его высоты $H$.

Запишем соотношение между радиусом описанного шара и высотой тетраэдра:

$R = \frac{3}{4}H$

Подставим известное значение высоты $H = 4$ см в эту формулу, чтобы найти радиус:

$R = \frac{3}{4} \cdot 4 \text{ см} = 3 \text{ см}$

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:

$S_{шара} = 4\pi R^2$

Подставим найденное значение радиуса $R = 3$ см в формулу площади поверхности:

$S_{шара} = 4\pi \cdot (3 \text{ см})^2 = 4\pi \cdot 9 \text{ см}^2 = 36\pi \text{ см}^2$

Ответ: $36\pi \text{ см}^2$.

49. Площадь поверхности шара, описанного около правильного тетраэдра, равна $9 \text{ см}^2$. Найдите площадь поверхности шара, вписанного в этот тетраэдр.

Дано:

Площадь поверхности описанного шара $S_{опис} = 9 \text{ см}^2$.

$S_{опис} = 9 \text{ см}^2 = 9 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 9 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

Найти:

Площадь поверхности вписанного шара $S_{впис}$.

Решение:

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4 \pi R^2$, где $R$ – радиус шара.

Пусть $R_{опис}$ – радиус шара, описанного около правильного тетраэдра, а $r_{впис}$ – радиус шара, вписанного в этот же тетраэдр.

Тогда площадь поверхности описанного шара равна $S_{опис} = 4 \pi R_{опис}^2$.

Площадь поверхности вписанного шара равна $S_{впис} = 4 \pi r_{впис}^2$.

Для правильного тетраэдра центры вписанной и описанной сфер совпадают. Этот центр делит высоту тетраэдра в отношении 3:1, считая от вершины. Расстояние от центра до вершины является радиусом описанной сферы ($R_{опис}$), а расстояние от центра до центра грани (точка касания вписанной сферы) является радиусом вписанной сферы ($r_{впис}$).

Таким образом, для правильного тетраэдра справедливо соотношение между радиусами:

$R_{опис} = 3 \cdot r_{впис}$

Найдем отношение площадей поверхностей вписанного и описанного шаров:

$\frac{S_{впис}}{S_{опис}} = \frac{4 \pi r_{впис}^2}{4 \pi R_{опис}^2} = \left(\frac{r_{впис}}{R_{опис}}\right)^2$

Подставим соотношение радиусов в эту формулу:

$\frac{S_{впис}}{S_{опис}} = \left(\frac{r_{впис}}{3 \cdot r_{впис}}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$

Отсюда можно выразить площадь поверхности вписанного шара:

$S_{впис} = \frac{1}{9} S_{опис}$

Подставим известное значение площади поверхности описанного шара:

$S_{впис} = \frac{1}{9} \cdot 9 \text{ см}^2 = 1 \text{ см}^2$

Ответ: $1 \text{ см}^2$.

50. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна $9 \text{ см}^2$. Найдите площадь поверхности шара.

Дано:

Около шара описан цилиндр.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{цил} = 9 \text{ см}^2$.

Найти:

Площадь поверхности шара $S_{шара}$.

Решение:

Пусть радиус вписанного шара равен $R$.

Если цилиндр описан около шара, то радиус основания цилиндра равен радиусу шара $R$, а высота цилиндра $H$ равна диаметру шара, то есть $H = 2R$.

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется как сумма площади боковой поверхности и площадей двух оснований:

$S_{цил} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Площадь боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = 2\pi RH$. Подставляя $H = 2R$, получаем:

$S_{бок} = 2\pi R(2R) = 4\pi R^2$.

Площадь одного основания (круга) цилиндра: $S_{осн} = \pi R^2$.

Тогда полная площадь поверхности цилиндра равна:

$S_{цил} = 4\pi R^2 + 2(\pi R^2) = 6\pi R^2$.

По условию задачи, $S_{цил} = 9 \text{ см}^2$, следовательно:

$6\pi R^2 = 9$

Отсюда мы можем найти значение выражения $\pi R^2$:

$\pi R^2 = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ см}^2$.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:

$S_{шара} = 4\pi R^2$.

Подставим найденное значение $\pi R^2$ в формулу для площади поверхности шара:

$S_{шара} = 4 \cdot (1.5) = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: $6 \text{ см}^2$.

51. Около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 2 см, 4 см и 6 см, описан шар. Найдите площадь его поверхности.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед с измерениями (длина, ширина, высота):

$a = 2$ см

$b = 4$ см

$c = 6$ см

Перевод в СИ:

$a = 0.02$ м

$b = 0.04$ м

$c = 0.06$ м

Найти:

Площадь поверхности описанного шара $S$.

Решение:

Центр шара, описанного около прямоугольного параллелепипеда, совпадает с центром параллелепипеда (точкой пересечения его диагоналей). Диаметр $D$ описанного шара равен диагонали $d$ этого параллелепипеда.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда находится по теореме Пифагора в пространстве и равен сумме квадратов трех его измерений:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим заданные значения измерений (для удобства вычислений используем сантиметры):

$d^2 = 2^2 + 4^2 + 6^2 = 4 + 16 + 36 = 56 \text{ см}^2$

Так как диаметр шара равен диагонали параллелепипеда ($D = d$), то квадрат диаметра шара равен:

$D^2 = d^2 = 56 \text{ см}^2$

Радиус шара $R$ равен половине его диаметра, значит $R = D/2$. Тогда квадрат радиуса равен:

$R^2 = \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{D^2}{4} = \frac{56}{4} = 14 \text{ см}^2$

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:

$S = 4\pi R^2$

Подставим в формулу найденное значение квадрата радиуса:

$S = 4\pi \cdot 14 = 56\pi \text{ см}^2$

Ответ: $56\pi \text{ см}^2$.

52. Во сколько раз площадь поверхности шара, описанного около куба, больше площади поверхности шара, вписанного в этот же куб?

Дано:

Куб.
Шар 1, вписанный в куб.
Шар 2, описанный около этого же куба.

Найти:

Отношение площади поверхности описанного шара к площади поверхности вписанного шара: $\frac{S_{оп}}{S_{вп}}$.

Решение:

Пусть длина ребра куба равна $a$.

Рассмотрим шар, вписанный в куб. Его центр совпадает с центром куба, и он касается центров всех шести граней куба. Диаметр вписанного шара равен длине ребра куба. Следовательно, радиус вписанного шара $r_{вп}$ равен:
$r_{вп} = \frac{a}{2}$

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S = 4\pi r^2$. Тогда площадь поверхности вписанного шара $S_{вп}$ равна:
$S_{вп} = 4\pi (r_{вп})^2 = 4\pi (\frac{a}{2})^2 = 4\pi \frac{a^2}{4} = \pi a^2$

Теперь рассмотрим шар, описанный около куба. Его центр также совпадает с центром куба, и он проходит через все восемь вершин куба. Диаметр описанного шара равен главной диагонали куба. Найдем длину главной диагонали $d$ куба по теореме Пифагора для трех измерений:
$d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Радиус описанного шара $R_{оп}$ равен половине его диагонали:
$R_{оп} = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Площадь поверхности описанного шара $S_{оп}$ равна:
$S_{оп} = 4\pi (R_{оп})^2 = 4\pi (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 = 4\pi \frac{3a^2}{4} = 3\pi a^2$

Чтобы найти, во сколько раз площадь поверхности описанного шара больше площади поверхности вписанного шара, найдем их отношение:
$\frac{S_{оп}}{S_{вп}} = \frac{3\pi a^2}{\pi a^2} = 3$

Ответ: в 3 раза.

1. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения прямоугольного треугольника ABC с катетами $AC = BC = 1 \text{ см}$ вокруг прямой AC.

Дано:

Прямоугольный треугольник $ABC$
Катет $AC = 1$ см
Катет $BC = 1$ см
Ось вращения - прямая $AC$

Перевод в СИ:

$AC = 0.01$ м
$BC = 0.01$ м

Найти:

Объем тела вращения $V$
Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

При вращении прямоугольного треугольника $ABC$ вокруг одного из его катетов ($AC$) образуется конус.

Высота этого конуса $h$ равна длине катета $AC$, который является осью вращения. Таким образом, $h = 1$ см.

Радиус основания конуса $r$ равен длине второго катета $BC$. Таким образом, $r = 1$ см.

Образующая конуса $l$ равна гипотенузе треугольника $AB$. Найдем ее по теореме Пифагора: $l = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ см.

Объем тела вращения

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.

Подставим известные значения в формулу: $V = \frac{1}{3} \pi \cdot (1)^2 \cdot 1 = \frac{\pi}{3}$ см$^3$.

Ответ: $V = \frac{\pi}{3}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности конуса $S$ складывается из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$. $S = S_{осн} + S_{бок}$

Площадь основания (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$: $S_{осн} = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$: $S_{бок} = \pi \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \pi\sqrt{2}$ см$^2$.

Теперь найдем полную площадь поверхности: $S = S_{осн} + S_{бок} = \pi + \pi\sqrt{2} = \pi(1 + \sqrt{2})$ см$^2$.

Ответ: $S = \pi(1 + \sqrt{2})$ см$^2$.