Страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

39. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $60^\circ$. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите объем пирамиды.

Дано:

Пирамида `SABCD`, в основании которой лежит прямоугольник `ABCD`.

Одна боковая грань, пусть это будет `(SAD)`, перпендикулярна плоскости основания `(ABCD)`.

Три другие боковые грани, `(SAB)`, `(SBC)` и `(SCD)`, наклонены к плоскости основания под углом `α = 60°`.

Высота пирамиды `H = 6` см.

Перевод в систему СИ:

`H = 6` см `$ = 0.06$` м.

Найти:

Объем пирамиды `V`.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $H$ - высота пирамиды.

Поскольку боковая грань `(SAD)` перпендикулярна плоскости основания `(ABCD)`, высота пирамиды `SH` будет лежать в этой грани и будет перпендикулярна линии пересечения этих плоскостей, то есть стороне `AD`. Таким образом, точка `H` лежит на стороне `AD` основания, и `SH` является высотой пирамиды, `SH = H = 6` см.

Угол наклона боковой грани к плоскости основания — это линейный угол соответствующего двугранного угла. Он определяется как угол между двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения граней в одной точке.

Рассмотрим углы наклона для трех граней:

1. Грань `SCD`. Линия пересечения с основанием — `CD`. В прямоугольнике `ABCD` сторона `AD ⊥ CD`. Так как `SH ⊥ (ABCD)`, то `HD` — проекция наклонной `SD` на плоскость основания. Поскольку проекция `HD` (как часть прямой `AD`) перпендикулярна `CD`, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная `SD` перпендикулярна `CD`. Следовательно, `∠SDA` является линейным углом двугранного угла между гранью `SCD` и основанием. По условию, `∠SDA = 60°`.

2. Грань `SAB`. Линия пересечения — `AB`. Аналогично, `AD ⊥ AB`. Проекция наклонной `SA` на плоскость основания — это `HA`. Так как `HA ⊥ AB`, то по теореме о трех перпендикулярах `SA ⊥ AB`. Следовательно, линейным углом является `∠SAH`. По условию, `∠SAH = 60°`.

3. Грань `SBC`. Линия пересечения — `BC`. Проведем из точки `H` на стороне `AD` перпендикуляр `HM` к стороне `BC`. Поскольку `ABCD` — прямоугольник, `HM` будет параллельна `AB` и `CD`, а ее длина будет равна длине стороны `AB` (`HM = AB`). `HM` является проекцией наклонной `SM` на плоскость основания. Так как `HM ⊥ BC`, то по теореме о трех перпендикулярах `SM ⊥ BC`. Линейным углом является `∠SMH`. По условию, `∠SMH = 60°`.

Теперь найдем размеры сторон основания, используя прямоугольные треугольники, образованные высотой `SH`.

Из прямоугольного треугольника `ΔSHD` (`∠SHD = 90°`):
$HD = \frac{SH}{\tan(∠SDA)} = \frac{6}{\tan(60°)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Из прямоугольного треугольника `ΔSAH` (`∠SHA = 90°`):
$AH = \frac{SH}{\tan(∠SAH)} = \frac{6}{\tan(60°)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Длина стороны `AD` основания равна сумме длин отрезков `AH` и `HD` (поскольку `H` лежит между `A` и `D`):
$AD = AH + HD = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Из прямоугольного треугольника `ΔSMH` (`∠SHM = 90°`):
$HM = \frac{SH}{\tan(∠SMH)} = \frac{6}{\tan(60°)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.
Так как `HM = AB`, то сторона `AB = 2\sqrt{3}` см.

Теперь можем найти площадь основания пирамиды (прямоугольника `ABCD`):
$S_{осн} = AD \cdot AB = (4\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3}) = 8 \cdot 3 = 24$ см².

Наконец, вычисляем объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$ см³.

Ответ: 48 см³.

40. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3 см. Найдите объем пирамиды.

Дано:

Треугольная пирамида, у которой боковые ребра, выходящие из одной вершины, взаимно перпендикулярны.
Длина каждого из этих ребер, $a, b, c$, равна 3 см.
$a = b = c = 3$ см.

$a = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
$b = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
$c = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Объем пирамиды $V$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$ где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Поскольку три боковых ребра, выходящие из общей вершины, взаимно перпендикулярны, такую пирамиду можно рассматривать как прямоугольный тетраэдр. Мы можем выбрать любую из трех боковых граней, являющихся прямоугольными треугольниками, в качестве основания.

Пусть основанием пирамиды является один из таких прямоугольных треугольников с катетами $a$ и $b$. Площадь этого основания $S_{осн}$ будет равна: $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Третье боковое ребро $c$, исходящее из той же вершины, перпендикулярно двум другим ребрам ($a$ и $b$), а значит, оно перпендикулярно и плоскости основания. Таким образом, это ребро является высотой пирамиды $h = c$.

Подставим выражения для площади основания и высоты в формулу объема: $V = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot b) \cdot c = \frac{1}{6} a \cdot b \cdot c$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи, где $a = b = c = 3$ см: $V = \frac{1}{6} \cdot 3 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = \frac{27}{6} \text{ см}^3$

$V = 4.5 \text{ см}^3$

Ответ: объем пирамиды равен $4.5 \text{ см}^3$.

41. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2 см, боковое ребро равно 4 см. Найдите объем пирамиды.

Дано:

Пирамида - правильная шестиугольная
Сторона основания, $a = 2$ см
Боковое ребро, $l = 4$ см

Перевод в систему СИ:
$a = 0.02$ м
$l = 0.04$ м

Найти:

Объем пирамиды, $V$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$
где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания. Основание пирамиды — правильный шестиугольник со стороной $a = 2$ см. Правильный шестиугольник состоит из шести правильных (равносторонних) треугольников со стороной, равной стороне шестиугольника.

Площадь одного такого равностороннего треугольника равна: $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Тогда площадь всего основания (шестиугольника) равна: $S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Подставим значение стороны основания $a = 2$ см: $S_{осн} = \frac{3 \cdot 2^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 4 \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Найдем высоту пирамиды $H$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $l$ (гипотенуза) и радиусом $R$ описанной около основания окружности (катет).

Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне: $R = a = 2$ см.

По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + R^2$

Отсюда выразим высоту $H$: $H = \sqrt{l^2 - R^2}$

Подставим известные значения $l = 4$ см и $R = 2$ см: $H = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

3. Теперь можем вычислить объем пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot (\sqrt{3})^2 = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 3 = 12$ см$^3$.

Ответ: $12$ см$^3$.

42. Объем правильной шестиугольной пирамиды равны 6 $\text{см}^3$. Сторона основания равна 1 $\text{см}$. Найдите боковое ребро.

Дано:

Объем правильной шестиугольной пирамиды $V = 6 \text{ см}^3$.

Сторона основания $a = 1 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

В данной задаче все единицы измерения согласованы (сантиметры), поэтому перевод в систему СИ не является обязательным для решения. Проведем вычисления в сантиметрах. Для справки приведем значения в СИ:

$V = 6 \text{ см}^3 = 6 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 6 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$

$a = 1 \text{ см} = 10^{-2} \text{ м} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Боковое ребро пирамиды $l$.

Решение:

1. Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

2. Основанием пирамиды является правильный шестиугольник со стороной $a$. Площадь правильного шестиугольника равна сумме площадей шести равносторонних треугольников, на которые он делится большими диагоналями. Площадь одного такого треугольника со стороной $a$ равна $\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Следовательно, площадь основания пирамиды $S_{осн}$ равна:

$S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$

Подставим значение стороны основания $a = 1 \text{ см}$:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$.

3. Теперь, зная объем и площадь основания, найдем высоту пирамиды $H$ из формулы объема:

$H = \frac{3V}{S_{осн}}$

$H = \frac{3 \cdot 6}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} = \frac{18}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} = \frac{18 \cdot 2}{3\sqrt{3}} = \frac{36}{3\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$H = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ см}$.

4. Боковое ребро $l$, высота пирамиды $H$ и радиус $R$ описанной около основания окружности образуют прямоугольный треугольник, где $l$ — гипотенуза. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне: $R = a$.

$R = a = 1 \text{ см}$.

5. Применим теорему Пифагора для нахождения бокового ребра $l$:

$l^2 = H^2 + R^2$

$l^2 = (4\sqrt{3})^2 + 1^2 = 16 \cdot 3 + 1 = 48 + 1 = 49$

Отсюда находим длину бокового ребра:

$l = \sqrt{49} = 7 \text{ см}$.

Ответ: боковое ребро равно 7 см.

43. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4 см, а угол между боковой гранью и основанием равен $45^\circ$. Найдите объем пирамиды.

Дано:

Пирамида - правильная, шестиугольная.
Сторона основания, $a = 4$ см.
Угол между боковой гранью и основанием, $\alpha = 45^\circ$.

В системе СИ:
$a = 0.04$ м.

Найти:

Объем пирамиды, $V$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Сначала найдем площадь основания. В основании лежит правильный шестиугольник со стороной $a = 4$ см. Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.
Подставим в формулу значение стороны $a$:
$S_{осн} = \frac{3 \cdot 4^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 16 \cdot \sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$ см$^2$.

Далее найдем высоту пирамиды $H$. Угол между боковой гранью и плоскостью основания — это угол между апофемой боковой грани и апофемой основания (радиусом вписанной в основание окружности). Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и апофема основания $r$, а гипотенузой — апофема боковой грани. Заданный угол $\alpha = 45^\circ$ является углом между катетом $r$ и гипотенузой.
Апофема правильного шестиугольника $r$ находится по формуле: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$r = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.
В прямоугольном треугольнике отношение высоты $H$ к апофеме основания $r$ равно тангенсу угла $\alpha$:
$\tan(\alpha) = \frac{H}{r}$.
Отсюда $H = r \cdot \tan(\alpha)$. Поскольку $\alpha = 45^\circ$, а $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:
$H = r \cdot 1 = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная площадь основания и высоту, можем вычислить объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 24\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 8 \cdot 2 \cdot 3 = 48$ см$^3$.

Ответ: $48$ см$^3$.

44. Объем параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен 12 см$^3$. Найдите объем треугольной пирамиды $B_1ABC$.

Дано:

Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Объем параллелепипеда $V_{пар} = 12 \text{ см}^3$

Найти:

Объем треугольной пирамиды $B_1ABC$ ($V_{пир}$)

Решение:

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле:$V_{пар} = S_{осн} \cdot h$,где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота.В нашем случае, в качестве основания возьмем параллелограмм $ABCD$. Тогда формула примет вид:$V_{пар} = S_{ABCD} \cdot h = 12 \text{ см}^3$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:$V_{пир} = \frac{1}{3} S_{пир\_осн} \cdot h_{пир}$,где $S_{пир\_осн}$ — площадь основания пирамиды, а $h_{пир}$ — ее высота.

Рассмотрим заданную треугольную пирамиду $B_1ABC$.Ее основанием является треугольник $ABC$, а вершиной — точка $B_1$.

Высота этой пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины $B_1$ на плоскость основания $ABC$. Эта высота совпадает с высотой $h$ всего параллелепипеда. Таким образом, $h_{пир} = h$.

Основание пирамиды — треугольник $ABC$. Этот треугольник является половиной основания параллелепипеда — параллелограмма $ABCD$, так как диагональ $AC$ делит параллелограмм на два равных по площади треугольника.Следовательно, площадь основания пирамиды связана с площадью основания параллелепипеда соотношением:$S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Теперь подставим выражения для площади основания и высоты пирамиды в формулу для ее объема:$V_{пир} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABCD}) \cdot h$.

Сгруппируем множители:$V_{пир} = \frac{1}{6} \cdot (S_{ABCD} \cdot h)$.

Так как выражение в скобках $S_{ABCD} \cdot h$ есть не что иное, как объем параллелепипеда $V_{пар}$, мы можем записать:$V_{пир} = \frac{1}{6} V_{пар}$.

Подставим известное значение объема параллелепипеда в полученную формулу:$V_{пир} = \frac{1}{6} \cdot 12 \text{ см}^3 = 2 \text{ см}^3$.

Ответ: $2 \text{ см}^3$.

45. Объем куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен 12 $\text{см}^3$. Точки $E, F, E_1, F_1$ — середины ребер соответственно $BC, CD, B_1C_1, C_1D_1$. Найдите объем треугольной призмы $CEFC_1E_1F_1$.

Дано

$V_{куба} = 12 \text{ см}^3$

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб.

E, F, E₁, F₁ — середины ребер BC, CD, B₁C₁, C₁D₁ соответственно.

$CEFC_1E_1F_1$ — треугольная призма.

Перевод в систему СИ:

$1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

$1 \text{ см}^3 = (0.01 \text{ м})^3 = 10^{-6} \text{ м}^3$

$V_{куба} = 12 \times 10^{-6} \text{ м}^3$

Найти:

$V_{призмы}$ — объем треугольной призмы $CEFC_1E_1F_1$.

Решение

Пусть ребро куба равно $a$. Объем куба вычисляется по формуле $V_{куба} = a^3$. По условию, $V_{куба} = 12 \text{ см}^3$, следовательно, $a^3 = 12 \text{ см}^3$.

Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту: $V_{призмы} = S_{основания} \times h$.

Основанием призмы $CEFC_1E_1F_1$ является треугольник $CEF$. Высотой призмы является боковое ребро $CC_1$, которое совпадает с ребром куба, так что $h = CC_1 = a$.

Рассмотрим основание призмы — треугольник $CEF$. Он лежит в плоскости основания куба $ABCD$. Так как $ABCD$ — квадрат, то угол $\angle BCD = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $CEF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Точки E и F — середины ребер $BC$ и $CD$ соответственно. Длины катетов треугольника $CEF$ равны: $CE = \frac{1}{2} BC = \frac{a}{2}$ $CF = \frac{1}{2} CD = \frac{a}{2}$

Площадь прямоугольного треугольника $CEF$ равна половине произведения его катетов: $S_{основания} = S_{\triangle CEF} = \frac{1}{2} \times CE \times CF = \frac{1}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}$.

Теперь можем найти объем призмы: $V_{призмы} = S_{основания} \times h = \frac{a^2}{8} \times a = \frac{a^3}{8}$.

Мы знаем, что объем куба $a^3 = 12 \text{ см}^3$. Подставим это значение в формулу для объема призмы: $V_{призмы} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ см}^3$.

Ответ: $1.5 \text{ см}^3$.

46. Объем куба равен $12 \text{ см}^3$. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Дано:

Объем куба $V_{куба} = 12 \text{ см}^3$.

Основание пирамиды - грань куба.

Вершина пирамиды - центр куба.

Найти:

Объем пирамиды $V_{пирамиды}$.

Решение:

Способ 1 (логический):

Представим, что мы разделили куб на 6 одинаковых пирамид, у которых общая вершина находится в центре куба, а основаниями служат 6 граней куба. Описанная в задаче пирамида является одной из этих шести пирамид.

Поскольку 6 таких пирамид полностью составляют куб, их суммарный объем равен объему куба. Так как все пирамиды одинаковы, объем одной пирамиды будет равен одной шестой от объема куба.

$V_{пирамиды} = \frac{V_{куба}}{6}$

Подставив данное значение объема куба, получим:

$V_{пирамиды} = \frac{12 \text{ см}^3}{6} = 2 \text{ см}^3$

Способ 2 (через формулы):

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Пусть ребро куба равно $a$. Тогда объем куба $V_{куба} = a^3$. Из условия мы знаем, что $a^3 = 12 \text{ см}^3$.

Основанием пирамиды является грань куба, которая представляет собой квадрат со стороной $a$. Следовательно, площадь основания пирамиды равна:

$S_{осн} = a^2$

Вершина пирамиды находится в центре куба. Высота пирамиды $h$ — это перпендикуляр, опущенный из ее вершины (центра куба) на основание (грань куба). Расстояние от центра куба до любой его грани равно половине длины ребра куба.

$h = \frac{a}{2}$

Теперь подставим выражения для $S_{осн}$ и $h$ в формулу объема пирамиды:

$V_{пирамиды} = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3}{6}$

Так как $V_{куба} = a^3 = 12 \text{ см}^3$, то объем пирамиды равен:

$V_{пирамиды} = \frac{V_{куба}}{6} = \frac{12 \text{ см}^3}{6} = 2 \text{ см}^3$

Ответ: $2 \text{ см}^3$.

47. От призмы $ABC A_1 B_1 C_1$, объем которой равен $6 \text{ см}^3$, отсечена треугольная пирамида $C_1 ABC$. Найдите объем оставшейся части.

Дано:

Объем призмы $ABCA_1B_1C_1$ равен $V_{\text{призмы}} = 6 \text{ см}^3$.

Перевод в систему СИ:

$V_{\text{призмы}} = 6 \text{ см}^3 = 6 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 6 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$.

Найти:

Объем оставшейся части призмы, $V_{\text{ост. части}}$.

Решение:

Объем призмы $ABCA_1B_1C_1$ вычисляется по формуле:

$V_{\text{призмы}} = S_{ABC} \cdot h$

где $S_{ABC}$ — площадь основания (треугольника $ABC$), а $h$ — высота призмы (расстояние между основаниями $ABC$ и $A_1B_1C_1$).

Из условия задачи известно, что $V_{\text{призмы}} = 6 \text{ см}^3$.

От призмы отсечена треугольная пирамида $C_1ABC$.

Основанием этой пирамиды является треугольник $ABC$, который совпадает с основанием призмы. Вершиной пирамиды является точка $C_1$.

Высота пирамиды $C_1ABC$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $C_1$ на плоскость основания $ABC$. Эта высота совпадает с высотой $h$ самой призмы.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$

Для нашей пирамиды $C_1ABC$ объем будет равен:

$V_{C_1ABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h$

Мы видим, что объем этой пирамиды связан с объемом призмы следующим образом:

$V_{C_1ABC} = \frac{1}{3} (S_{ABC} \cdot h) = \frac{1}{3} V_{\text{призмы}}$

Подставим известное значение объема призмы:

$V_{C_1ABC} = \frac{1}{3} \cdot 6 \text{ см}^3 = 2 \text{ см}^3$

Объем оставшейся части призмы равен разности объемов исходной призмы и отсеченной пирамиды:

$V_{\text{ост. части}} = V_{\text{призмы}} - V_{C_1ABC}$

$V_{\text{ост. части}} = 6 \text{ см}^3 - 2 \text{ см}^3 = 4 \text{ см}^3$

Ответ: $4 \text{ см}^3$.

48. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен $1 \text{ см}^3$. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

Дано:

$V_{SABC} = 1 \text{ см}^3$
$SABCDEF$ - правильная шестиугольная пирамида
$SABC$ - треугольная пирамида, являющаяся частью пирамиды $SABCDEF$

Найти:

$V_{SABCDEF}$ - ?

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $h$ - высота пирамиды.

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$ и треугольная пирамида $SABC$ имеют общую вершину $S$, а их основания $ABCDEF$ и $ABC$ лежат в одной плоскости. Следовательно, высота $h$ у обеих пирамид одинакова.

Это означает, что отношение их объемов равно отношению площадей их оснований: $$ \frac{V_{SABCDEF}}{V_{SABC}} = \frac{S_{ABCDEF}}{S_{ABC}} $$

Рассмотрим основания пирамид. Основание большой пирамиды – правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть его сторона равна $a$. Основание малой пирамиды – треугольник $ABC$.

Площадь правильного шестиугольника $S_{ABCDEF}$ можно вычислить как сумму площадей шести равносторонних треугольников, на которые он разбивается диагоналями, проведенными из его центра $O$. Площадь одного такого треугольника (например, $\triangle OAB$) со стороной $a$ равна: $$ S_{\triangle OAB} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} $$ Тогда площадь всего шестиугольника: $$ S_{ABCDEF} = 6 \cdot S_{\triangle OAB} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} $$

Теперь найдем площадь треугольника $ABC$. Стороны $AB$ и $BC$ равны стороне шестиугольника $a$. Угол между ними, $\angle ABC$, является внутренним углом правильного шестиугольника и равен $120^\circ$.

Площадь треугольника $ABC$ найдем по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними: $$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) $$ Подставим значения: $$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2}a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} $$

Теперь найдем отношение площадей оснований: $$ \frac{S_{ABCDEF}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}}{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{a^2\sqrt{3}} = \frac{12}{2} = 6 $$

Поскольку отношение объемов равно отношению площадей оснований, получаем: $$ \frac{V_{SABCDEF}}{V_{SABC}} = 6 $$

Отсюда выразим искомый объем $V_{SABCDEF}$: $$ V_{SABCDEF} = 6 \cdot V_{SABC} $$ Подставим известное значение $V_{SABC} = 1 \text{ см}^3$: $$ V_{SABCDEF} = 6 \cdot 1 \text{ см}^3 = 6 \text{ см}^3 $$

Ответ: $6 \text{ см}^3$.

49. Объем правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ равен $12 \text{ см}^3$. Точка $E$ — середина ребра $SB$. Найдите объем треугольной пирамиды $EABC$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Объем пирамиды $SABCD$: $V_{SABCD} = 12 \text{ см}^3$.

Точка $E$ — середина ребра $SB$.

Найти:

Объем треугольной пирамиды $EABC$: $V_{EABC}$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Объем данной правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ и высотой $h_S$ (расстояние от вершины $S$ до плоскости основания) равен:

$V_{SABCD} = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h_S = 12 \text{ см}^3$.

Объем искомой треугольной пирамиды $EABC$ с основанием $ABC$ и высотой $h_E$ (расстояние от вершины $E$ до плоскости основания) равен:

$V_{EABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_E$.

Чтобы найти $V_{EABC}$, сравним площадь его основания и высоту с основанием и высотой пирамиды $SABCD$.

1. Сравнение площадей оснований.

Основание пирамиды $SABCD$ — квадрат $ABCD$. Основание пирамиды $EABC$ — треугольник $ABC$. Диагональ $AC$ делит квадрат $ABCD$ на два равных по площади треугольника. Следовательно, площадь треугольника $ABC$ в два раза меньше площади квадрата $ABCD$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

2. Сравнение высот.

Пусть $SO$ — высота пирамиды $SABCD$, где $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей). Тогда $h_S = SO$. Высота $h_E$ пирамиды $EABC$ — это перпендикуляр $EE'$, опущенный из точки $E$ на плоскость основания $ABCD$. Точка $E'$ будет лежать на отрезке $BO$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOB$ и $\triangle EE'B$. У них общий острый угол $\angle B$, следовательно, эти треугольники подобны. Из подобия следует:

$\frac{EE'}{SO} = \frac{BE}{BS}$

По условию, точка $E$ — середина ребра $SB$, поэтому отношение $\frac{BE}{BS} = \frac{1}{2}$.

Значит, $\frac{EE'}{SO} = \frac{1}{2}$, откуда $h_E = EE' = \frac{1}{2} SO = \frac{1}{2} h_S$.

Таким образом, высота пирамиды $EABC$ в два раза меньше высоты пирамиды $SABCD$.

Теперь подставим полученные соотношения в формулу для объема пирамиды $EABC$:

$V_{EABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_E = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABCD}) \cdot (\frac{1}{2} h_S)$

Сгруппируем множители:

$V_{EABC} = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h_S)$

Так как выражение в скобках равно объему пирамиды $SABCD$, получаем:

$V_{EABC} = \frac{1}{4} V_{SABCD}$

Подставим известное значение $V_{SABCD}$:

$V_{EABC} = \frac{1}{4} \cdot 12 \text{ см}^3 = 3 \text{ см}^3$.

Ответ: $3 \text{ см}^3$.

50. От треугольной пирамиды, объем которой равен $12 \text{ см}^3$, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Дано:

$V_{исх} = 12 \text{ см}^3$ (объем исходной треугольной пирамиды).
Отсекающая плоскость проходит через вершину пирамиды и среднюю линию ее основания.

Перевод в СИ:
$V_{исх} = 12 \text{ см}^3 = 12 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 12 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$.

Найти:

$V_{отс}$ — объем отсеченной треугольной пирамиды.

Решение:

Объем любой пирамиды можно найти по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Пусть $V_{исх}$ — объем исходной пирамиды, $S_{исх}$ — площадь ее основания, а $h$ — ее высота. $V_{исх} = \frac{1}{3} S_{исх} \cdot h = 12 \text{ см}^3$.

Рассмотрим отсеченную пирамиду. Ее вершина совпадает с вершиной исходной пирамиды, а ее основание лежит в той же плоскости, что и основание исходной пирамиды. Следовательно, высота отсеченной пирамиды равна высоте исходной пирамиды, то есть $h$.

Основанием отсеченной пирамиды является треугольник, который отсекается от треугольника-основания исходной пирамиды его средней линией. Обозначим площадь основания отсеченной пирамиды как $S_{отс}$.

Треугольник, отсекаемый средней линией, подобен исходному треугольнику. Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответствующих сторон. Поскольку средняя линия соединяет середины двух сторон, стороны малого треугольника в 2 раза меньше сторон большого. Таким образом, коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{отс}}{S_{исх}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Отсюда, $S_{отс} = \frac{1}{4} S_{исх}$.

Теперь можем найти объем отсеченной пирамиды $V_{отс}$: $V_{отс} = \frac{1}{3} S_{отс} \cdot h = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} S_{исх}) \cdot h = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{3} S_{исх} \cdot h)$.

Заметив, что выражение в скобках равно объему исходной пирамиды $V_{исх}$, получаем: $V_{отс} = \frac{1}{4} V_{исх}$.

Подставим данное значение $V_{исх}$: $V_{отс} = \frac{1}{4} \cdot 12 \text{ см}^3 = 3 \text{ см}^3$.

Ответ: $3 \text{ см}^3$.

51. Объем треугольной пирамиды $SABC$ равен $15\text{ см}^3$. Плоскость проходит через сторону $AB$ основания этой пирамиды и пересекает противолежащее боковое ребро в точке $D$, делящей ребро $SC$ в отношении $1 : 2$, считая от вершины $S$. Найдите объем пирамиды $DABC$.

Дано:

Объем треугольной пирамиды $SABC$: $V_{SABC} = 15 \text{ см}^3$

Плоскость, проходящая через сторону $AB$, пересекает ребро $SC$ в точке $D$.

Точка $D$ делит ребро $SC$ в отношении $SD:DC = 1:2$.

$V_{SABC} = 15 \text{ см}^3 = 15 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 15 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$

Найти:

Объем пирамиды $DABC$: $V_{DABC}$

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Пирамиды $SABC$ и $DABC$ имеют общее основание — треугольник $ABC$. Их объемы различаются только из-за разной высоты.

Объем пирамиды $SABC$ равен $V_{SABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_S$, где $h_S$ — высота, опущенная из вершины $S$ на плоскость основания $ABC$.

Объем искомой пирамиды $DABC$ равен $V_{DABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_D$, где $h_D$ — высота, опущенная из вершины $D$ на плоскость основания $ABC$.

Найдем отношение объемов этих двух пирамид:

$\frac{V_{DABC}}{V_{SABC}} = \frac{\frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_D}{\frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_S} = \frac{h_D}{h_S}$

Чтобы найти отношение высот $h_D / h_S$, опустим из точек $S$ и $D$ перпендикуляры $SH_S$ и $DH_D$ на плоскость основания $ABC$. Тогда $h_S = SH_S$ и $h_D = DH_D$.

Так как $SH_S \perp (ABC)$ и $DH_D \perp (ABC)$, то $SH_S \parallel DH_D$.

Рассмотрим треугольники $\triangle CSH_S$ и $\triangle CDH_D$. Они подобны по двум углам, так как:

1. $\angle SH_S C = \angle DH_D C = 90^\circ$ (по построению).

2. Угол при вершине $C$ является общим для обоих треугольников.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{DH_D}{SH_S} = \frac{CD}{CS}$

По условию задачи, точка $D$ делит ребро $SC$ в отношении $SD:DC = 1:2$. Примем длину отрезка $SD$ за $x$, тогда длина отрезка $DC$ будет $2x$. Вся длина ребра $CS$ составит $CS = SD + DC = x + 2x = 3x$.

Тогда отношение длин отрезков равно:

$\frac{CD}{CS} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$

Следовательно, отношение высот также равно $\frac{h_D}{h_S} = \frac{2}{3}$.

Теперь мы можем найти отношение объемов:

$\frac{V_{DABC}}{V_{SABC}} = \frac{h_D}{h_S} = \frac{2}{3}$

Выразим искомый объем $V_{DABC}$:

$V_{DABC} = \frac{2}{3} \cdot V_{SABC} = \frac{2}{3} \cdot 15 \text{ см}^3 = 10 \text{ см}^3$.

Ответ: $10 \text{ см}^3$.

52. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

Дано:

Пусть $h_1$ и $R_1$ — высота и радиус основания первой цилиндрической кружки.

Пусть $h_2$ и $R_2$ — высота и радиус основания второй цилиндрической кружки.

По условию, первая кружка вдвое выше второй, следовательно:

$h_1 = 2h_2$

Вторая кружка в полтора раза шире первой. Ширина соответствует диаметру, поэтому:

$D_2 = 1.5 D_1$

Так как диаметр $D = 2R$, то и радиус второй кружки в полтора раза больше радиуса первой:

$2R_2 = 1.5 \cdot (2R_1) \implies R_2 = 1.5 R_1$

Найти:

Отношение объема второй кружки к объему первой: $\frac{V_2}{V_1}$.

Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot h = \pi R^2 h$

где $R$ — радиус основания, $h$ — высота.

Запишем формулы для объемов первой и второй кружек:

$V_1 = \pi R_1^2 h_1$

$V_2 = \pi R_2^2 h_2$

Найдем отношение объемов $\frac{V_2}{V_1}$:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\pi R_2^2 h_2}{\pi R_1^2 h_1}$

Подставим в эту формулу соотношения между высотами и радиусами. Из $h_1 = 2h_2$ следует, что $h_2 = \frac{h_1}{2}$. Мы также знаем, что $R_2 = 1.5 R_1$.

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\pi (1.5 R_1)^2 (\frac{h_1}{2})}{\pi R_1^2 h_1}$

Сократим одинаковые переменные ($\pi, R_1^2, h_1$):

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{(1.5)^2 \cdot \frac{1}{2}}{1}$

Вычислим полученное значение:

$\frac{V_2}{V_1} = (1.5)^2 \cdot 0.5 = 2.25 \cdot 0.5 = 1.125$

Таким образом, объем второй кружки в 1,125 раза больше объема первой.

Ответ: 1,125.

53. Объем конуса равен $12 \text{ см}^3$. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите объем отсеченного конуса.

Дано:

Объем исходного конуса $V_1 = 12 \text{ см}^3$.

Сечение, проведенное параллельно основанию, делит высоту конуса пополам.

Перевод в систему СИ:

$V_1 = 12 \text{ см}^3 = 12 \times (10^{-2} \text{ м})^3 = 12 \times 10^{-6} \text{ м}^3$.

Найти:

Объем отсеченного конуса $V_2$.

Решение:

Пусть $V_1$, $R_1$ и $H_1$ — объем, радиус основания и высота исходного конуса соответственно. Формула объема конуса:

$V_1 = \frac{1}{3} \pi R_1^2 H_1 = 12 \text{ см}^3$.

Сечение, проведенное параллельно основанию, отсекает от исходного конуса меньший конус, который подобен исходному. Обозначим его параметры как $V_2$, $R_2$ и $H_2$.

По условию задачи, плоскость сечения делит высоту исходного конуса пополам. Это означает, что высота отсеченного (меньшего) конуса составляет половину высоты исходного конуса:

$H_2 = \frac{1}{2} H_1$

Так как отсеченный конус подобен исходному, их коэффициент подобия $k$ равен отношению их линейных размеров, например, высот:

$k = \frac{H_2}{H_1} = \frac{\frac{1}{2} H_1}{H_1} = \frac{1}{2}$

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента их подобия:

$\frac{V_2}{V_1} = k^3$

Подставив значение коэффициента подобия, получаем:

$\frac{V_2}{V_1} = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

Теперь можем выразить и вычислить объем отсеченного конуса $V_2$:

$V_2 = V_1 \times \frac{1}{8} = 12 \times \frac{1}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ см}^3$

Таким образом, объем меньшего конуса, отсеченного от вершины, равен 1,5 см³.

Ответ: $1.5 \text{ см}^3$.