Номер 49, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

49. Объем правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ равен $12 \text{ см}^3$. Точка $E$ — середина ребра $SB$. Найдите объем треугольной пирамиды $EABC$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Объем пирамиды $SABCD$: $V_{SABCD} = 12 \text{ см}^3$.

Точка $E$ — середина ребра $SB$.

Найти:

Объем треугольной пирамиды $EABC$: $V_{EABC}$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Объем данной правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ и высотой $h_S$ (расстояние от вершины $S$ до плоскости основания) равен:

$V_{SABCD} = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h_S = 12 \text{ см}^3$.

Объем искомой треугольной пирамиды $EABC$ с основанием $ABC$ и высотой $h_E$ (расстояние от вершины $E$ до плоскости основания) равен:

$V_{EABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_E$.

Чтобы найти $V_{EABC}$, сравним площадь его основания и высоту с основанием и высотой пирамиды $SABCD$.

1. Сравнение площадей оснований.

Основание пирамиды $SABCD$ — квадрат $ABCD$. Основание пирамиды $EABC$ — треугольник $ABC$. Диагональ $AC$ делит квадрат $ABCD$ на два равных по площади треугольника. Следовательно, площадь треугольника $ABC$ в два раза меньше площади квадрата $ABCD$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

2. Сравнение высот.

Пусть $SO$ — высота пирамиды $SABCD$, где $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей). Тогда $h_S = SO$. Высота $h_E$ пирамиды $EABC$ — это перпендикуляр $EE'$, опущенный из точки $E$ на плоскость основания $ABCD$. Точка $E'$ будет лежать на отрезке $BO$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOB$ и $\triangle EE'B$. У них общий острый угол $\angle B$, следовательно, эти треугольники подобны. Из подобия следует:

$\frac{EE'}{SO} = \frac{BE}{BS}$

По условию, точка $E$ — середина ребра $SB$, поэтому отношение $\frac{BE}{BS} = \frac{1}{2}$.

Значит, $\frac{EE'}{SO} = \frac{1}{2}$, откуда $h_E = EE' = \frac{1}{2} SO = \frac{1}{2} h_S$.

Таким образом, высота пирамиды $EABC$ в два раза меньше высоты пирамиды $SABCD$.

Теперь подставим полученные соотношения в формулу для объема пирамиды $EABC$:

$V_{EABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_E = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABCD}) \cdot (\frac{1}{2} h_S)$

Сгруппируем множители:

$V_{EABC} = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h_S)$

Так как выражение в скобках равно объему пирамиды $SABCD$, получаем:

$V_{EABC} = \frac{1}{4} V_{SABCD}$

Подставим известное значение $V_{SABCD}$:

$V_{EABC} = \frac{1}{4} \cdot 12 \text{ см}^3 = 3 \text{ см}^3$.

Ответ: $3 \text{ см}^3$.