Номер 45, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

45. Объем куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен 12 $\text{см}^3$. Точки $E, F, E_1, F_1$ — середины ребер соответственно $BC, CD, B_1C_1, C_1D_1$. Найдите объем треугольной призмы $CEFC_1E_1F_1$.

Дано

$V_{куба} = 12 \text{ см}^3$

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб.

E, F, E₁, F₁ — середины ребер BC, CD, B₁C₁, C₁D₁ соответственно.

$CEFC_1E_1F_1$ — треугольная призма.

Перевод в систему СИ:

$1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

$1 \text{ см}^3 = (0.01 \text{ м})^3 = 10^{-6} \text{ м}^3$

$V_{куба} = 12 \times 10^{-6} \text{ м}^3$

Найти:

$V_{призмы}$ — объем треугольной призмы $CEFC_1E_1F_1$.

Решение

Пусть ребро куба равно $a$. Объем куба вычисляется по формуле $V_{куба} = a^3$. По условию, $V_{куба} = 12 \text{ см}^3$, следовательно, $a^3 = 12 \text{ см}^3$.

Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту: $V_{призмы} = S_{основания} \times h$.

Основанием призмы $CEFC_1E_1F_1$ является треугольник $CEF$. Высотой призмы является боковое ребро $CC_1$, которое совпадает с ребром куба, так что $h = CC_1 = a$.

Рассмотрим основание призмы — треугольник $CEF$. Он лежит в плоскости основания куба $ABCD$. Так как $ABCD$ — квадрат, то угол $\angle BCD = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $CEF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Точки E и F — середины ребер $BC$ и $CD$ соответственно. Длины катетов треугольника $CEF$ равны: $CE = \frac{1}{2} BC = \frac{a}{2}$ $CF = \frac{1}{2} CD = \frac{a}{2}$

Площадь прямоугольного треугольника $CEF$ равна половине произведения его катетов: $S_{основания} = S_{\triangle CEF} = \frac{1}{2} \times CE \times CF = \frac{1}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}$.

Теперь можем найти объем призмы: $V_{призмы} = S_{основания} \times h = \frac{a^2}{8} \times a = \frac{a^3}{8}$.

Мы знаем, что объем куба $a^3 = 12 \text{ см}^3$. Подставим это значение в формулу для объема призмы: $V_{призмы} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ см}^3$.

Ответ: $1.5 \text{ см}^3$.