Номер 41, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

41. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2 см, боковое ребро равно 4 см. Найдите объем пирамиды.

Дано:

Пирамида - правильная шестиугольная
Сторона основания, $a = 2$ см
Боковое ребро, $l = 4$ см

Перевод в систему СИ:
$a = 0.02$ м
$l = 0.04$ м

Найти:

Объем пирамиды, $V$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$
где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания. Основание пирамиды — правильный шестиугольник со стороной $a = 2$ см. Правильный шестиугольник состоит из шести правильных (равносторонних) треугольников со стороной, равной стороне шестиугольника.

Площадь одного такого равностороннего треугольника равна: $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Тогда площадь всего основания (шестиугольника) равна: $S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Подставим значение стороны основания $a = 2$ см: $S_{осн} = \frac{3 \cdot 2^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 4 \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Найдем высоту пирамиды $H$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $l$ (гипотенуза) и радиусом $R$ описанной около основания окружности (катет).

Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне: $R = a = 2$ см.

По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + R^2$

Отсюда выразим высоту $H$: $H = \sqrt{l^2 - R^2}$

Подставим известные значения $l = 4$ см и $R = 2$ см: $H = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

3. Теперь можем вычислить объем пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot (\sqrt{3})^2 = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 3 = 12$ см$^3$.

Ответ: $12$ см$^3$.