Номер 36, страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

36. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2 см, а боковые ребра равны $2\sqrt{3}$ см и наклонены к плоскости основания под углом $30^{\circ}$.

Дано:

Призма, в основании которой лежит правильный шестиугольник.

Сторона основания $a = 2 \text{ см}$

Длина бокового ребра $l = 2\sqrt{3} \text{ см}$

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания $\alpha = 30^\circ$

Найти:

Объем призмы $V$.

Решение:

Объем призмы вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания $S_{осн}$.

Основанием является правильный шестиугольник со стороной $a = 2 \text{ см}$. Правильный шестиугольник можно разбить на шесть одинаковых равносторонних треугольников со стороной, равной стороне шестиугольника.

Площадь одного такого равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a = 2 \text{ см}$:

$S_{\triangle} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \text{ см}^2$

Площадь всего шестиугольника (основания призмы) равна сумме площадей шести таких треугольников:

$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6\sqrt{3} \text{ см}^2$

2. Найдем высоту призмы $H$.

Высота призмы $H$, боковое ребро $l$ и его проекция на плоскость основания образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковое ребро $l$ является гипотенузой, высота $H$ — катетом, противолежащим углу наклона $\alpha$.

Следовательно, высоту можно найти через синус угла $\alpha$:

$H = l \cdot \sin(\alpha)$

Подставим известные значения $l = 2\sqrt{3} \text{ см}$ и $\alpha = 30^\circ$:

$H = 2\sqrt{3} \cdot \sin(30^\circ)$

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$H = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} \text{ см}$

3. Теперь вычислим объем призмы $V$.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = S_{осн} \cdot H = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot (\sqrt{3})^2 = 6 \cdot 3 = 18 \text{ см}^3$

Ответ: $18 \text{ см}^3$.