Номер 40, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

40. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3 см. Найдите объем пирамиды.

Дано:

Треугольная пирамида, у которой боковые ребра, выходящие из одной вершины, взаимно перпендикулярны.
Длина каждого из этих ребер, $a, b, c$, равна 3 см.
$a = b = c = 3$ см.

$a = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
$b = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
$c = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Объем пирамиды $V$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$ где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Поскольку три боковых ребра, выходящие из общей вершины, взаимно перпендикулярны, такую пирамиду можно рассматривать как прямоугольный тетраэдр. Мы можем выбрать любую из трех боковых граней, являющихся прямоугольными треугольниками, в качестве основания.

Пусть основанием пирамиды является один из таких прямоугольных треугольников с катетами $a$ и $b$. Площадь этого основания $S_{осн}$ будет равна: $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Третье боковое ребро $c$, исходящее из той же вершины, перпендикулярно двум другим ребрам ($a$ и $b$), а значит, оно перпендикулярно и плоскости основания. Таким образом, это ребро является высотой пирамиды $h = c$.

Подставим выражения для площади основания и высоты в формулу объема: $V = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot b) \cdot c = \frac{1}{6} a \cdot b \cdot c$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи, где $a = b = c = 3$ см: $V = \frac{1}{6} \cdot 3 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = \frac{27}{6} \text{ см}^3$

$V = 4.5 \text{ см}^3$

Ответ: объем пирамиды равен $4.5 \text{ см}^3$.