Номер 43, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

43. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4 см, а угол между боковой гранью и основанием равен $45^\circ$. Найдите объем пирамиды.

Дано:

Пирамида - правильная, шестиугольная.
Сторона основания, $a = 4$ см.
Угол между боковой гранью и основанием, $\alpha = 45^\circ$.

В системе СИ:
$a = 0.04$ м.

Найти:

Объем пирамиды, $V$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Сначала найдем площадь основания. В основании лежит правильный шестиугольник со стороной $a = 4$ см. Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.
Подставим в формулу значение стороны $a$:
$S_{осн} = \frac{3 \cdot 4^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 16 \cdot \sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$ см$^2$.

Далее найдем высоту пирамиды $H$. Угол между боковой гранью и плоскостью основания — это угол между апофемой боковой грани и апофемой основания (радиусом вписанной в основание окружности). Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и апофема основания $r$, а гипотенузой — апофема боковой грани. Заданный угол $\alpha = 45^\circ$ является углом между катетом $r$ и гипотенузой.
Апофема правильного шестиугольника $r$ находится по формуле: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$r = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.
В прямоугольном треугольнике отношение высоты $H$ к апофеме основания $r$ равно тангенсу угла $\alpha$:
$\tan(\alpha) = \frac{H}{r}$.
Отсюда $H = r \cdot \tan(\alpha)$. Поскольку $\alpha = 45^\circ$, а $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:
$H = r \cdot 1 = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная площадь основания и высоту, можем вычислить объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 24\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 8 \cdot 2 \cdot 3 = 48$ см$^3$.

Ответ: $48$ см$^3$.