Номер 46, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

46. Объем куба равен $12 \text{ см}^3$. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Дано:

Объем куба $V_{куба} = 12 \text{ см}^3$.

Основание пирамиды - грань куба.

Вершина пирамиды - центр куба.

Найти:

Объем пирамиды $V_{пирамиды}$.

Решение:

Способ 1 (логический):

Представим, что мы разделили куб на 6 одинаковых пирамид, у которых общая вершина находится в центре куба, а основаниями служат 6 граней куба. Описанная в задаче пирамида является одной из этих шести пирамид.

Поскольку 6 таких пирамид полностью составляют куб, их суммарный объем равен объему куба. Так как все пирамиды одинаковы, объем одной пирамиды будет равен одной шестой от объема куба.

$V_{пирамиды} = \frac{V_{куба}}{6}$

Подставив данное значение объема куба, получим:

$V_{пирамиды} = \frac{12 \text{ см}^3}{6} = 2 \text{ см}^3$

Способ 2 (через формулы):

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Пусть ребро куба равно $a$. Тогда объем куба $V_{куба} = a^3$. Из условия мы знаем, что $a^3 = 12 \text{ см}^3$.

Основанием пирамиды является грань куба, которая представляет собой квадрат со стороной $a$. Следовательно, площадь основания пирамиды равна:

$S_{осн} = a^2$

Вершина пирамиды находится в центре куба. Высота пирамиды $h$ — это перпендикуляр, опущенный из ее вершины (центра куба) на основание (грань куба). Расстояние от центра куба до любой его грани равно половине длины ребра куба.

$h = \frac{a}{2}$

Теперь подставим выражения для $S_{осн}$ и $h$ в формулу объема пирамиды:

$V_{пирамиды} = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3}{6}$

Так как $V_{куба} = a^3 = 12 \text{ см}^3$, то объем пирамиды равен:

$V_{пирамиды} = \frac{V_{куба}}{6} = \frac{12 \text{ см}^3}{6} = 2 \text{ см}^3$

Ответ: $2 \text{ см}^3$.