Номер 34, страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

34. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен $32 \text{ см}^3$, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Дано:

Объем исходной треугольной призмы $V_{исх} = 32 \text{ см}^3$.

$V_{исх} = 32 \text{ см}^3 = 32 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 32 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$.

Найти:

Объем отсеченной треугольной призмы $V_{отсеч}$.

Решение:

Объем любой призмы вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Для исходной призмы имеем:

$V_{исх} = S_{исх} \cdot H = 32 \text{ см}^3$, где $S_{исх}$ — площадь треугольника в основании исходной призмы.

Секущая плоскость проходит через среднюю линию основания и параллельна боковому ребру. Это означает, что она отсекает от исходной призмы другую, меньшую треугольную призму.

Поскольку секущая плоскость параллельна боковому ребру, высота отсеченной призмы $H_{отсеч}$ равна высоте исходной призмы $H$.

$H_{отсеч} = H$.

Основанием отсеченной призмы является треугольник, который отсекается средней линией от треугольника в основании исходной призмы. Обозначим площадь этого меньшего треугольника как $S_{отсеч}$.

По свойству средней линии, треугольник, который она отсекает, подобен исходному треугольнику. Коэффициент подобия $k$ равен $1/2$, так как стороны малого треугольника в два раза меньше сторон большого.

$k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{отсеч}}{S_{исх}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Отсюда, площадь основания отсеченной призмы составляет $1/4$ от площади основания исходной призмы:

$S_{отсеч} = \frac{1}{4} S_{исх}$.

Теперь найдем объем отсеченной призмы:

$V_{отсеч} = S_{отсеч} \cdot H = (\frac{1}{4} S_{исх}) \cdot H = \frac{1}{4} (S_{исх} \cdot H)$.

Так как $S_{исх} \cdot H = V_{исх}$, получаем:

$V_{отсеч} = \frac{1}{4} V_{исх}$.

Подставим известное значение объема исходной призмы:

$V_{отсеч} = \frac{1}{4} \cdot 32 \text{ см}^3 = 8 \text{ см}^3$.

Ответ: $8 \text{ см}^3$.