Номер 29, страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

29. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 см и острым углом $60^\circ$. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол $60^\circ$ и равно 2 см. Найдите объем параллелепипеда.

Дано:

Основание параллелепипеда — ромб.

Сторона ромба, $a = 1$ см.

Острый угол ромба, $\alpha = 60°$.

Боковое ребро параллелепипеда, $b = 2$ см.

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания, $\beta = 60°$.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$b = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Объем параллелепипеда, $V$.

Решение:

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.

1. Сначала найдем площадь основания. Основанием является ромб со стороной $a = 1$ см и острым углом $\alpha = 60°$. Площадь ромба можно вычислить по формуле $S = a^2 \sin(\alpha)$.

Подставим наши значения:

$S_{осн} = 1^2 \cdot \sin(60°) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см².

2. Теперь найдем высоту параллелепипеда $H$. Высота представляет собой перпендикуляр, опущенный из любой вершины верхнего основания на плоскость нижнего основания. Боковое ребро $b$ является наклонной к плоскости основания, а высота $H$ — перпендикуляром. Угол между ребром и плоскостью основания $\beta = 60°$.

Таким образом, высота $H$, боковое ребро $b$ и проекция ребра на основание образуют прямоугольный треугольник, в котором $b$ — гипотенуза, а $H$ — катет, противолежащий углу $\beta$. Следовательно, $H = b \cdot \sin(\beta)$.

Подставим известные значения:

$H = 2 \cdot \sin(60°) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

3. Наконец, вычислим объем параллелепипеда, умножив площадь основания на высоту:

$V = S_{осн} \cdot H = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{(\sqrt{3})^2}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ см³.

Ответ: 1.5 см³.