Номер 55, страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

55. Диаметр основания конуса равен 6 см, а угол при вершине осевого сечения равен $90^\circ$. Вычислите объем конуса, деленный на $\Pi$.

Дано:

Диаметр основания конуса, $d = 6 \text{ см}$

Угол при вершине осевого сечения, $\alpha = 90^\circ$

$d = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Объем конуса, деленный на $\pi$: $\frac{V}{\pi}$

Решение:

Объем конуса вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания конуса, а $h$ — его высота.

Сначала найдем радиус основания конуса. Радиус равен половине диаметра: $r = \frac{d}{2} = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3 \text{ см}$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр конуса $d$, а боковыми сторонами — образующие конуса. Высота этого треугольника, проведенная к основанию, является высотой конуса $h$.

По условию, угол при вершине этого треугольника равен $\alpha = 90^\circ$. Следовательно, осевое сечение является прямоугольным равнобедренным треугольником.

Высота $h$, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе $d$, делит осевое сечение на два меньших равных прямоугольных треугольника. В каждом из этих треугольников один из острых углов равен половине угла при вершине осевого сечения, то есть $\frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$. Поскольку сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то и второй острый угол равен $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Таким образом, эти меньшие треугольники являются равнобедренными, и их катеты равны. Катетами являются высота конуса $h$ и радиус его основания $r$. Значит, $h = r$.

Так как мы нашли, что $r = 3 \text{ см}$, то и высота $h = 3 \text{ см}$.

Теперь мы можем вычислить объем конуса: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot (3 \text{ см})^2 \cdot (3 \text{ см}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 9\pi \text{ см}^3$.

Наконец, найдем искомое значение — объем конуса, деленный на $\pi$: $\frac{V}{\pi} = \frac{9\pi \text{ см}^3}{\pi} = 9$.

Ответ: 9.