Номер 62, страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

62. Основание прямой призмы — ромб, площадь которого равна $3 \text{ см}^2$. Площади диагональных сечений равны $8 \text{ см}^2$ и $12 \text{ см}^2$. Найдите объем призмы.

Дано:

$S_{осн} = 3 \text{ см}^2$

$S_{сеч1} = 8 \text{ см}^2$

$S_{сеч2} = 12 \text{ см}^2$

$S_{осн} = 3 \text{ см}^2 = 3 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

$S_{сеч1} = 8 \text{ см}^2 = 8 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

$S_{сеч2} = 12 \text{ см}^2 = 12 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

$V$

Решение:

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $H$ - высота призмы.

В основании призмы лежит ромб. Площадь ромба можно выразить через его диагонали $d_1$ и $d_2$ по формуле: $S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

Используя данное значение площади основания, получаем:

$3 = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Отсюда следует, что произведение диагоналей ромба равно:

$d_1 d_2 = 6$

По условию, призма прямая. Это означает, что ее боковые ребра перпендикулярны основанию, а высота $H$ равна длине бокового ребра. Диагональные сечения такой призмы представляют собой прямоугольники. Сторонами этих прямоугольников являются диагонали основания ($d_1$ и $d_2$) и высота призмы $H$.

Площади диагональных сечений равны:

$S_{сеч1} = d_1 \cdot H$

$S_{сеч2} = d_2 \cdot H$

Подставим известные значения площадей сечений:

$d_1 H = 8$

$d_2 H = 12$

Чтобы найти высоту $H$, перемножим два последних уравнения:

$(d_1 H) \cdot (d_2 H) = 8 \cdot 12$

$(d_1 d_2) \cdot H^2 = 96$

Мы ранее нашли, что $d_1 d_2 = 6$. Подставим это значение в полученное уравнение:

$6 \cdot H^2 = 96$

$H^2 = \frac{96}{6}$

$H^2 = 16$

Поскольку высота является положительной величиной, $H = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$.

Теперь, зная площадь основания и высоту, можем вычислить объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = 3 \text{ см}^2 \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^3$.

Ответ: $12 \text{ см}^3$.