Номер 67, страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

67. От куба $ABCD A_1B_1C_1D_1$, ребра которого равны 3 см, отсечены четыре треугольные призмы плоскостями, которые проходят через середины смежных сторон грани $ABCD$ параллельно ребру $AA_1$. Найдите объем оставшейся части.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Ребро куба $a = 3$ см

Перевод в СИ:

$a = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Объем оставшейся части $V_{ост.}$.

Решение:

Для решения задачи найдем объем исходного куба и вычтем из него суммарный объем четырех отсеченных треугольных призм.

1. Объем исходного куба $V_{куба}$ вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ – длина ребра.

$V_{куба} = (3 \text{ см})^3 = 27 \text{ см}^3$.

2. По условию, от куба отсекаются четыре одинаковые призмы. Рассмотрим одну из них. Отсекающие плоскости проходят через середины смежных сторон грани $ABCD$ и параллельны ребру $AA_1$. Это означает, что от каждого из четырех углов основания $ABCD$ отсекается прямая треугольная призма, высота которой $h$ равна ребру куба.

$h = a = 3 \text{ см}$.

3. Основанием каждой такой призмы является прямоугольный равнобедренный треугольник. Катеты этого треугольника $k$ равны половине длины ребра куба, так как сечения проходят через середины сторон.

$k = \frac{a}{2} = \frac{3 \text{ см}}{2} = 1.5 \text{ см}$.

4. Найдем площадь основания одной призмы $S_{осн.пр.}$.

$S_{осн.пр.} = \frac{1}{2} \cdot k \cdot k = \frac{1}{2} \cdot (1.5 \text{ см})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2.25 \text{ см}^2 = 1.125 \text{ см}^2$.

5. Теперь найдем объем одной отсеченной призмы $V_{пр.}$ как произведение площади ее основания на высоту.

$V_{пр.} = S_{осн.пр.} \cdot h = 1.125 \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 3.375 \text{ см}^3$.

6. Поскольку отсечены четыре одинаковые призмы, их суммарный объем $V_{отсеч.}$ равен:

$V_{отсеч.} = 4 \cdot V_{пр.} = 4 \cdot 3.375 \text{ см}^3 = 13.5 \text{ см}^3$.

7. Объем оставшейся части $V_{ост.}$ равен разности объемов исходного куба и четырех отсеченных призм.

$V_{ост.} = V_{куба} - V_{отсеч.} = 27 \text{ см}^3 - 13.5 \text{ см}^3 = 13.5 \text{ см}^3$.

Альтернативное решение:

Оставшаяся часть представляет собой прямую призму, высота которой равна ребру куба $h=3$ см. Основанием этой призмы является фигура, полученная на грани $ABCD$ после отсечения четырех угловых треугольников. Эта фигура - квадрат, вершины которого находятся в серединах сторон квадрата $ABCD$. Площадь такого квадрата в два раза меньше площади исходного квадрата.

Площадь основания куба: $S_{ABCD} = a^2 = 3^2 = 9 \text{ см}^2$.

Площадь основания оставшейся призмы: $S_{ост.осн.} = \frac{S_{ABCD}}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ см}^2$.

Объем оставшейся части: $V_{ост.} = S_{ост.осн.} \cdot h = 4.5 \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 13.5 \text{ см}^3$.

Ответ: $13.5 \text{ см}^3$.