Номер 70, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

70. Найдите объем правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания и высота которого равны $2\sqrt{3}$ см.

Дано:

Правильная треугольная призма, вписанная в цилиндр.

Радиус основания цилиндра $R = 2\sqrt{3}$ см.

Высота цилиндра $H_{цил} = 2\sqrt{3}$ см.

$R = 2\sqrt{3} \text{ см} = 2\sqrt{3} \times 10^{-2} \text{ м}$
$H_{цил} = 2\sqrt{3} \text{ см} = 2\sqrt{3} \times 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

Объем призмы $V_{пр}$.

Решение:

Объем призмы вычисляется по формуле $V_{пр} = S_{осн} \cdot H_{пр}$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $H_{пр}$ - высота призмы. Для удобства проведем все вычисления в сантиметрах.

Поскольку призма вписана в цилиндр, ее высота равна высоте цилиндра:

$H_{пр} = H_{цил} = 2\sqrt{3}$ см.

Основанием призмы является правильный (равносторонний) треугольник, который вписан в окружность основания цилиндра. Это означает, что радиус основания цилиндра $R$ является радиусом окружности, описанной около этого треугольника.

Связь между стороной правильного треугольника $a$ и радиусом $R$ описанной около него окружности выражается формулой $a = R\sqrt{3}$.

Найдем сторону основания призмы $a$:

$a = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Теперь найдем площадь основания призмы $S_{осн}$, которая является площадью равностороннего треугольника со стороной $a$. Формула площади:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a=6$ см:

$S_{осн} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Наконец, вычислим объем призмы, используя найденные площадь основания и высоту:

$V_{пр} = S_{осн} \cdot H_{пр} = 9\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 18 \cdot (\sqrt{3})^2 = 18 \cdot 3 = 54$ см³.

Ответ: $54$ см³.