Номер 73, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

73. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания и высота которого равны $\sqrt{3}$ см.

Дано

Тип фигуры: правильная шестиугольная призма, вписанная в цилиндр.

Радиус основания цилиндра: $R = \sqrt{3}$ см.

Высота цилиндра: $H = \sqrt{3}$ см.

$R = H = \sqrt{3} \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$R = \sqrt{3} \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$H = \sqrt{3} \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

Объем призмы $V_{призмы}$.

Решение

Объем призмы находится по формуле:

$V_{призмы} = S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ — площадь основания призмы, а $h$ — ее высота.

Поскольку призма вписана в цилиндр, ее высота $h$ равна высоте цилиндра $H$:

$h = H = \sqrt{3}$ см.

Основанием призмы является правильный шестиугольник, вписанный в окружность основания цилиндра. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне $a$. Следовательно, сторона шестиугольника равна радиусу основания цилиндра $R$:

$a = R = \sqrt{3}$ см.

Площадь правильного шестиугольника $S_{осн}$ можно вычислить по формуле, зная, что он состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$:

$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Подставим значение стороны $a = \sqrt{3}$ см в формулу для площади основания:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$ см².

Теперь можем вычислить объем призмы:

$V_{призмы} = S_{осн} \cdot h = \frac{9\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{9 \cdot (\sqrt{3})^2}{2} = \frac{9 \cdot 3}{2} = \frac{27}{2} = 13,5$ см³.

Ответ: объем правильной шестиугольной призмы равен $13,5$ см³.