Номер 71, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

71. Найдите объем правильной треугольной призмы, описанной около сферы, радиус которой равен $\sqrt{3}$ см.

Дано:

Правильная треугольная призма, описанная около сферы.

Радиус сферы, $r = \sqrt{3}$ см.

Найти:

Объем призмы, $V$.

Решение:

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Поскольку призма является правильной, ее основание — это равносторонний треугольник, а боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Сфера, вписанная в призму, касается обоих оснований (верхнего и нижнего) и всех трех боковых граней.

1. Найдем высоту призмы $H$.

Высота призмы, в которую можно вписать сферу, равна диаметру этой сферы. Расстояние между верхним и нижним основаниями, которых касается сфера, равно $2r$.

$H = 2r = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

2. Найдем сторону основания $a$.

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через центр сферы параллельно основаниям. В сечении получим равносторонний треугольник (основание призмы), в который вписана окружность (большой круг сферы) с радиусом $r = \sqrt{3}$ см.

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Отсюда можно выразить сторону треугольника $a$:

$a = r \cdot 2\sqrt{3}$

Подставим значение радиуса $r = \sqrt{3}$ см:

$a = \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 2 \cdot 3 = 6$ см.

3. Найдем площадь основания $S_{осн}$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a = 6$ см:

$S_{осн} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

4. Найдем объем призмы $V$.

Теперь, зная площадь основания и высоту, вычислим объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = 9\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 18 \cdot 3 = 54$ см³.

Ответ: $54$ см³.