Номер 64, страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

64. В параллелепипеде две грани имеют площади $4\text{ см}^2$ и $6\text{ см}^2$, их общее ребро равно $2\text{ см}$, и они образуют между собой двугранный угол $30^\circ$. Найдите объем параллелепипеда.

Дано:

Площадь первой грани: $S_1 = 4 \, \text{см}^2$

Площадь второй грани: $S_2 = 6 \, \text{см}^2$

Длина общего ребра граней: $c = 2 \, \text{см}$

Двугранный угол между гранями: $\alpha = 30^\circ$

Все величины даны в согласованных единицах, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Объем параллелепипеда: $V$

Решение:

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{\text{осн}} \cdot H$, где $S_{\text{осн}}$ — это площадь основания, а $H$ — высота, опущенная на это основание.

В качестве основания параллелепипеда выберем одну из данных граней, например, грань с площадью $S_2 = 6 \, \text{см}^2$. Таким образом, $S_{\text{осн}} = S_2 = 6 \, \text{см}^2$.

Другая грань с площадью $S_1 = 4 \, \text{см}^2$ является смежной (боковой) по отношению к основанию. Эти две грани имеют общее ребро длиной $c = 2 \, \text{см}$ и образуют между собой двугранный угол $\alpha = 30^\circ$.

Высота параллелепипеда $H$ — это перпендикуляр, опущенный из любой точки верхней грани на плоскость основания. Чтобы найти $H$, рассмотрим смежную грань с площадью $S_1$.

Площадь этой грани, как и любого параллелограмма, можно выразить через произведение ее стороны (в нашем случае, общего ребра $c$) на высоту $h_1$, проведенную к этой стороне: $S_1 = c \cdot h_1$.

Выразим и вычислим высоту $h_1$ этой грани:

$h_1 = \frac{S_1}{c} = \frac{4 \, \text{см}^2}{2 \, \text{см}} = 2 \, \text{см}$.

Высота грани $h_1$ — это длина перпендикуляра, проведенного в плоскости этой грани к общему ребру $c$. Высота параллелепипеда $H$ образует с высотой грани $h_1$ и проекцией $h_1$ на плоскость основания прямоугольный треугольник. Угол между $h_1$ и ее проекцией является линейным углом двугранного угла, то есть равен $\alpha = 30^\circ$. В этом треугольнике $h_1$ является гипотенузой, а $H$ — катетом, противолежащим углу $\alpha$.

Следовательно, высота параллелепипеда $H$ находится по формуле: $H = h_1 \cdot \sin(\alpha)$.

Подставим числовые значения:

$H = 2 \, \text{см} \cdot \sin(30^\circ) = 2 \, \text{см} \cdot \frac{1}{2} = 1 \, \text{см}$.

Теперь, зная площадь основания и высоту, можем найти объем параллелепипеда:

$V = S_{\text{осн}} \cdot H = 6 \, \text{см}^2 \cdot 1 \, \text{см} = 6 \, \text{см}^3$.

Ответ: $6 \, \text{см}^3$.