Номер 63, страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

63. Площади трех граней прямоугольного параллелепипеда равны $2 \text{ см}^2$, $3 \text{ см}^2$, $6 \text{ см}^2$. Найдите объем параллелепипеда.

Дано:

Площади трех граней прямоугольного параллелепипеда:

$S_1 = 2 \text{ см}^2$

$S_2 = 3 \text{ см}^2$

$S_3 = 6 \text{ см}^2$

Перевод в систему СИ:

$S_1 = 2 \text{ см}^2 = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

$S_2 = 3 \text{ см}^2 = 3 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

$S_3 = 6 \text{ см}^2 = 6 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

Объем параллелепипеда $V$.

Решение:

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота) равны $a, b, c$. Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.

Площади трех граней, имеющих общую вершину, равны произведениям соответствующих измерений: $S_1 = a \cdot b$, $S_2 = b \cdot c$, $S_3 = a \cdot c$.

Если перемножить эти три равенства, получим: $S_1 \cdot S_2 \cdot S_3 = (a \cdot b) \cdot (b \cdot c) \cdot (a \cdot c) = a^2 \cdot b^2 \cdot c^2 = (a \cdot b \cdot c)^2$.

Так как объем $V = a \cdot b \cdot c$, то мы получаем соотношение $V^2 = S_1 \cdot S_2 \cdot S_3$.

Отсюда объем равен квадратному корню из произведения площадей трех граней:

$V = \sqrt{S_1 \cdot S_2 \cdot S_3}$

Подставим числовые значения в исходных единицах:

$V = \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 6} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}^3$

Для проверки выполним расчет в системе СИ:

$V = \sqrt{(2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2) \cdot (3 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2) \cdot (6 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2)} = \sqrt{36 \cdot 10^{-12} \text{ м}^6} = 6 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$

Результаты эквивалентны, так как $1 \text{ см}^3 = 10^{-6} \text{ м}^3$.

Ответ: $V = 6 \text{ см}^3$.