Страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

54. Высота конуса равна 6 см, образующая равна 10 см. Найдите его объем, деленный на $\pi$.

Дано:

Высота конуса $h = 6$ см

Образующая конуса $l = 10$ см

$h = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$l = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

$\frac{V}{\pi}$

Решение:

Объем конуса $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$

где $R$ — радиус основания конуса, а $h$ — его высота.

Высота конуса $h$, его образующая $l$ и радиус основания $R$ образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой. Согласно теореме Пифагора, их связь выражается формулой:

$l^2 = R^2 + h^2$

Чтобы найти объем, нам сначала нужно определить радиус основания $R$. Выразим квадрат радиуса $R^2$ из теоремы Пифагора:

$R^2 = l^2 - h^2$

Подставим известные значения $l$ и $h$:

$R^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$ (см$^2$)

Теперь, когда мы нашли $R^2$, мы можем вычислить объем конуса $V$:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 64 \cdot 6$

Сократим множители:

$V = \pi \cdot 64 \cdot \frac{6}{3} = \pi \cdot 64 \cdot 2 = 128\pi$ (см$^3$)

В задаче требуется найти объем, деленный на $\pi$.

$\frac{V}{\pi} = \frac{128\pi}{\pi} = 128$

Ответ: 128.

55. Диаметр основания конуса равен 6 см, а угол при вершине осевого сечения равен $90^\circ$. Вычислите объем конуса, деленный на $\Pi$.

Дано:

Диаметр основания конуса, $d = 6 \text{ см}$

Угол при вершине осевого сечения, $\alpha = 90^\circ$

$d = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Объем конуса, деленный на $\pi$: $\frac{V}{\pi}$

Решение:

Объем конуса вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания конуса, а $h$ — его высота.

Сначала найдем радиус основания конуса. Радиус равен половине диаметра: $r = \frac{d}{2} = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3 \text{ см}$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр конуса $d$, а боковыми сторонами — образующие конуса. Высота этого треугольника, проведенная к основанию, является высотой конуса $h$.

По условию, угол при вершине этого треугольника равен $\alpha = 90^\circ$. Следовательно, осевое сечение является прямоугольным равнобедренным треугольником.

Высота $h$, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе $d$, делит осевое сечение на два меньших равных прямоугольных треугольника. В каждом из этих треугольников один из острых углов равен половине угла при вершине осевого сечения, то есть $\frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$. Поскольку сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то и второй острый угол равен $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Таким образом, эти меньшие треугольники являются равнобедренными, и их катеты равны. Катетами являются высота конуса $h$ и радиус его основания $r$. Значит, $h = r$.

Так как мы нашли, что $r = 3 \text{ см}$, то и высота $h = 3 \text{ см}$.

Теперь мы можем вычислить объем конуса: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot (3 \text{ см})^2 \cdot (3 \text{ см}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 9\pi \text{ см}^3$.

Наконец, найдем искомое значение — объем конуса, деленный на $\pi$: $\frac{V}{\pi} = \frac{9\pi \text{ см}^3}{\pi} = 9$.

Ответ: 9.

56. Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг катета, равного 6 см. Найдите его объем, деленный на $Π$.

Дано:

Конус образован вращением равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Длина катета $a = 6$ см.

$a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Объем конуса, деленный на $\pi$, то есть $\frac{V}{\pi}$.

Решение:

Тело вращения, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, является конусом. При этом катет, вокруг которого происходит вращение, становится высотой конуса $H$, а второй катет — радиусом его основания $R$.

По условию задачи, треугольник является равнобедренным и прямоугольным. Это означает, что его катеты равны между собой. Следовательно, высота конуса $H$ и радиус его основания $R$ равны:

$H = a = 6$ см

$R = a = 6$ см

Формула для вычисления объема конуса $V$ имеет вид:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

Подставим известные значения высоты $H$ и радиуса $R$ в формулу:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot (6 \text{ см})^2 \cdot 6 \text{ см}$

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см}$

$V = \pi \cdot 12 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см}$

$V = 72\pi \text{ см}^3$

Теперь найдем искомое значение, разделив объем $V$ на число $\pi$:

$\frac{V}{\pi} = \frac{72\pi}{\pi} = 72$

Ответ: 72.

57. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 см и высотой 6 см. Найдите его объем, деленный на $ \pi $.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида
Сторона основания пирамиды, $a = 4$ см
Высота пирамиды, $h_{пир} = 6$ см
Конус описан около пирамиды.

$a = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$h_{пир} = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Значение выражения $\frac{V_{кон}}{π}$, где $V_{кон}$ - объем конуса.

Решение:

Объем конуса вычисляется по формуле: $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi R^2 h$, где $R$ — радиус основания конуса, а $h$ — его высота.

Так как конус описан около правильной четырехугольной пирамиды, то их вершины и высоты совпадают. Следовательно, высота конуса $h$ равна высоте пирамиды: $h = h_{пир} = 6$ см.

Основание пирамиды (квадрат) вписано в основание конуса (круг). Это означает, что вершины квадрата лежат на окружности основания конуса. Радиус $R$ этой окружности равен половине диагонали $d$ квадрата.

Диагональ квадрата со стороной $a$ можно найти по формуле $d = a\sqrt{2}$. Подставим значение стороны основания $a = 4$ см: $d = 4\sqrt{2}$ см.

Радиус основания конуса равен: $R = \frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Теперь, зная радиус и высоту, можем вычислить объем конуса: $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi (2\sqrt{2})^2 \cdot 6$

Выполним вычисления: $(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$. $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot 8 \cdot 6 = \pi \cdot 8 \cdot \frac{6}{3} = \pi \cdot 8 \cdot 2 = 16\pi$ см$^3$.

Найдем искомое значение, разделив объем на $\pi$: $\frac{V_{кон}}{π} = \frac{16\pi}{π} = 16$.

Ответ: 16.

58. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Конус, вписанный в пирамиду ($К_{впис}$).

Конус, описанный около пирамиды ($К_{опис}$).

Найти:

Во сколько раз объем описанного конуса больше объема вписанного, то есть найти отношение $\frac{V_{опис}}{V_{впис}}$.

Решение:

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ - радиус основания конуса, а $H$ - его высота.

Поскольку конусы вписаны и описаны около одной и той же правильной пирамиды, их вершины совпадают с вершиной пирамиды, а их высоты равны высоте пирамиды. Обозначим эту высоту как $H$.

$H_{впис} = H_{опис} = H_{пирамиды} = H$.

Основание правильной четырехугольной пирамиды - это квадрат. Пусть сторона этого квадрата равна $a$.

1. Рассмотрим вписанный конус ($К_{впис}$).

Основание вписанного конуса - это круг, вписанный в квадратное основание пирамиды. Радиус такого круга ($r_{впис}$) равен половине стороны квадрата.

$r_{впис} = \frac{a}{2}$

Объем вписанного конуса равен:

$V_{впис} = \frac{1}{3} \pi r_{впис}^2 H = \frac{1}{3} \pi (\frac{a}{2})^2 H = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2}{4} H = \frac{\pi a^2 H}{12}$

2. Рассмотрим описанный конус ($К_{опис}$).

Основание описанного конуса - это круг, описанный около квадратного основания пирамиды. Радиус такого круга ($R_{опис}$) равен половине диагонали квадрата.

Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $d = a\sqrt{2}$.

$R_{опис} = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Объем описанного конуса равен:

$V_{опис} = \frac{1}{3} \pi R_{опис}^2 H = \frac{1}{3} \pi (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 H = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2 \cdot 2}{4} H = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2}{2} H = \frac{\pi a^2 H}{6}$

3. Найдем отношение объемов.

Чтобы узнать, во сколько раз объем описанного конуса больше объема вписанного, разделим $V_{опис}$ на $V_{впис}$.

$\frac{V_{опис}}{V_{впис}} = \frac{\frac{\pi a^2 H}{6}}{\frac{\pi a^2 H}{12}} = \frac{\pi a^2 H}{6} \cdot \frac{12}{\pi a^2 H} = \frac{12}{6} = 2$

Таким образом, объем описанного конуса в 2 раза больше объема вписанного конуса.

Ответ: в 2 раза.

59. Радиусы трех шаров равны 6 см, 8 см и 10 см. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

Дано:

Радиус первого шара, $r_1 = 6$ см

Радиус второго шара, $r_2 = 8$ см

Радиус третьего шара, $r_3 = 10$ см

Объем нового шара $V$ равен сумме объемов трех исходных шаров $V_1, V_2, V_3$.

$r_1 = 0.06$ м

$r_2 = 0.08$ м

$r_3 = 0.1$ м

Найти:

Радиус нового шара $R$.

Решение:

Объем шара вычисляется по формуле: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ - это радиус шара.

По условию задачи, объем нового шара, радиус которого мы обозначим как $R$, равен сумме объемов трех данных шаров.

Запишем это в виде уравнения:

$V = V_1 + V_2 + V_3$

Подставим формулу объема для каждого шара:

$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi r_1^3 + \frac{4}{3}\pi r_2^3 + \frac{4}{3}\pi r_3^3$

Мы можем сократить общий множитель $\frac{4}{3}\pi$ в обеих частях уравнения. В результате получаем:

$R^3 = r_1^3 + r_2^3 + r_3^3$

Теперь подставим в это уравнение известные значения радиусов:

$R^3 = 6^3 + 8^3 + 10^3$

Вычислим кубы каждого из радиусов:

$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$

$8^3 = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512$

$10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$

Сложим полученные объемы:

$R^3 = 216 + 512 + 1000 = 1728$

Чтобы найти радиус $R$, необходимо извлечь кубический корень из 1728:

$R = \sqrt[3]{1728}$

$R = 12$ см

Таким образом, радиус нового шара равен 12 см.

Ответ: 12 см.

60. В куб с ребром 3 см вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на $\pi$.

Дано:

Ребро куба $a = 3$ см

$a = 0.03$ м

Найти:

$\frac{V_{шара}}{\pi}$

Решение:

Так как шар вписан в куб, то его диаметр $d$ равен длине ребра куба $a$.

$d = a = 3$ см.

Радиус шара $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.

Объем шара $V_{шара}$ вычисляется по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим значение радиуса в формулу, чтобы найти объем шара:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi (1.5)^3 = \frac{4}{3}\pi (\frac{3}{2})^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{27}{8}$

Выполним сокращение дробей:

$V_{шара} = \frac{4 \cdot 27}{3 \cdot 8}\pi = \frac{1 \cdot 9}{1 \cdot 2}\pi = \frac{9}{2}\pi = 4.5\pi$ см$^3$.

Теперь найдем искомую величину — объем шара, деленный на $\pi$:

$\frac{V_{шара}}{\pi} = \frac{4.5\pi}{\pi} = 4.5$

Ответ: 4.5

61. Около куба с ребром $\sqrt{3}$ см описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на $\pi$.

Дано:

Куб, вписанный в шар.

Ребро куба, $a = \sqrt{3}$ см.

Найти:

Объем шара, деленный на $\pi$, то есть $\frac{V_{шара}}{\pi}$.

Решение:

Если шар описан около куба, то диаметр этого шара ($D$) равен диагонали куба ($d$).

Найдем диагональ куба по формуле $d = a\sqrt{3}$, где $a$ – ребро куба.

Подставим известное значение ребра:

$d = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$ см.

Следовательно, диаметр шара $D = 3$ см. Радиус шара ($R$) равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.

Теперь найдем объем шара по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{3^3}{2^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{27}{8}$

Сократим дробь:

$V_{шара} = \frac{4 \cdot 27}{3 \cdot 8}\pi = \frac{1 \cdot 9}{1 \cdot 2}\pi = \frac{9}{2}\pi = 4.5\pi$ см³.

По условию задачи, нужно найти объем шара, деленный на $\pi$:

$\frac{V_{шара}}{\pi} = \frac{4.5\pi}{\pi} = 4.5$

Ответ: 4.5

62. Основание прямой призмы — ромб, площадь которого равна $3 \text{ см}^2$. Площади диагональных сечений равны $8 \text{ см}^2$ и $12 \text{ см}^2$. Найдите объем призмы.

Дано:

$S_{осн} = 3 \text{ см}^2$

$S_{сеч1} = 8 \text{ см}^2$

$S_{сеч2} = 12 \text{ см}^2$

$S_{осн} = 3 \text{ см}^2 = 3 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

$S_{сеч1} = 8 \text{ см}^2 = 8 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

$S_{сеч2} = 12 \text{ см}^2 = 12 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

$V$

Решение:

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $H$ - высота призмы.

В основании призмы лежит ромб. Площадь ромба можно выразить через его диагонали $d_1$ и $d_2$ по формуле: $S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

Используя данное значение площади основания, получаем:

$3 = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Отсюда следует, что произведение диагоналей ромба равно:

$d_1 d_2 = 6$

По условию, призма прямая. Это означает, что ее боковые ребра перпендикулярны основанию, а высота $H$ равна длине бокового ребра. Диагональные сечения такой призмы представляют собой прямоугольники. Сторонами этих прямоугольников являются диагонали основания ($d_1$ и $d_2$) и высота призмы $H$.

Площади диагональных сечений равны:

$S_{сеч1} = d_1 \cdot H$

$S_{сеч2} = d_2 \cdot H$

Подставим известные значения площадей сечений:

$d_1 H = 8$

$d_2 H = 12$

Чтобы найти высоту $H$, перемножим два последних уравнения:

$(d_1 H) \cdot (d_2 H) = 8 \cdot 12$

$(d_1 d_2) \cdot H^2 = 96$

Мы ранее нашли, что $d_1 d_2 = 6$. Подставим это значение в полученное уравнение:

$6 \cdot H^2 = 96$

$H^2 = \frac{96}{6}$

$H^2 = 16$

Поскольку высота является положительной величиной, $H = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$.

Теперь, зная площадь основания и высоту, можем вычислить объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = 3 \text{ см}^2 \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^3$.

Ответ: $12 \text{ см}^3$.

63. Площади трех граней прямоугольного параллелепипеда равны $2 \text{ см}^2$, $3 \text{ см}^2$, $6 \text{ см}^2$. Найдите объем параллелепипеда.

Дано:

Площади трех граней прямоугольного параллелепипеда:

$S_1 = 2 \text{ см}^2$

$S_2 = 3 \text{ см}^2$

$S_3 = 6 \text{ см}^2$

Перевод в систему СИ:

$S_1 = 2 \text{ см}^2 = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

$S_2 = 3 \text{ см}^2 = 3 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

$S_3 = 6 \text{ см}^2 = 6 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

Объем параллелепипеда $V$.

Решение:

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота) равны $a, b, c$. Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.

Площади трех граней, имеющих общую вершину, равны произведениям соответствующих измерений: $S_1 = a \cdot b$, $S_2 = b \cdot c$, $S_3 = a \cdot c$.

Если перемножить эти три равенства, получим: $S_1 \cdot S_2 \cdot S_3 = (a \cdot b) \cdot (b \cdot c) \cdot (a \cdot c) = a^2 \cdot b^2 \cdot c^2 = (a \cdot b \cdot c)^2$.

Так как объем $V = a \cdot b \cdot c$, то мы получаем соотношение $V^2 = S_1 \cdot S_2 \cdot S_3$.

Отсюда объем равен квадратному корню из произведения площадей трех граней:

$V = \sqrt{S_1 \cdot S_2 \cdot S_3}$

Подставим числовые значения в исходных единицах:

$V = \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 6} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}^3$

Для проверки выполним расчет в системе СИ:

$V = \sqrt{(2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2) \cdot (3 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2) \cdot (6 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2)} = \sqrt{36 \cdot 10^{-12} \text{ м}^6} = 6 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$

Результаты эквивалентны, так как $1 \text{ см}^3 = 10^{-6} \text{ м}^3$.

Ответ: $V = 6 \text{ см}^3$.

64. В параллелепипеде две грани имеют площади $4\text{ см}^2$ и $6\text{ см}^2$, их общее ребро равно $2\text{ см}$, и они образуют между собой двугранный угол $30^\circ$. Найдите объем параллелепипеда.

Дано:

Площадь первой грани: $S_1 = 4 \, \text{см}^2$

Площадь второй грани: $S_2 = 6 \, \text{см}^2$

Длина общего ребра граней: $c = 2 \, \text{см}$

Двугранный угол между гранями: $\alpha = 30^\circ$

Все величины даны в согласованных единицах, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Объем параллелепипеда: $V$

Решение:

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{\text{осн}} \cdot H$, где $S_{\text{осн}}$ — это площадь основания, а $H$ — высота, опущенная на это основание.

В качестве основания параллелепипеда выберем одну из данных граней, например, грань с площадью $S_2 = 6 \, \text{см}^2$. Таким образом, $S_{\text{осн}} = S_2 = 6 \, \text{см}^2$.

Другая грань с площадью $S_1 = 4 \, \text{см}^2$ является смежной (боковой) по отношению к основанию. Эти две грани имеют общее ребро длиной $c = 2 \, \text{см}$ и образуют между собой двугранный угол $\alpha = 30^\circ$.

Высота параллелепипеда $H$ — это перпендикуляр, опущенный из любой точки верхней грани на плоскость основания. Чтобы найти $H$, рассмотрим смежную грань с площадью $S_1$.

Площадь этой грани, как и любого параллелограмма, можно выразить через произведение ее стороны (в нашем случае, общего ребра $c$) на высоту $h_1$, проведенную к этой стороне: $S_1 = c \cdot h_1$.

Выразим и вычислим высоту $h_1$ этой грани:

$h_1 = \frac{S_1}{c} = \frac{4 \, \text{см}^2}{2 \, \text{см}} = 2 \, \text{см}$.

Высота грани $h_1$ — это длина перпендикуляра, проведенного в плоскости этой грани к общему ребру $c$. Высота параллелепипеда $H$ образует с высотой грани $h_1$ и проекцией $h_1$ на плоскость основания прямоугольный треугольник. Угол между $h_1$ и ее проекцией является линейным углом двугранного угла, то есть равен $\alpha = 30^\circ$. В этом треугольнике $h_1$ является гипотенузой, а $H$ — катетом, противолежащим углу $\alpha$.

Следовательно, высота параллелепипеда $H$ находится по формуле: $H = h_1 \cdot \sin(\alpha)$.

Подставим числовые значения:

$H = 2 \, \text{см} \cdot \sin(30^\circ) = 2 \, \text{см} \cdot \frac{1}{2} = 1 \, \text{см}$.

Теперь, зная площадь основания и высоту, можем найти объем параллелепипеда:

$V = S_{\text{осн}} \cdot H = 6 \, \text{см}^2 \cdot 1 \, \text{см} = 6 \, \text{см}^3$.

Ответ: $6 \, \text{см}^3$.

65. В наклонной треугольной призме площадь одной из боковых граней равна $12 \text{ см}^2$, а расстояние от нее до противолежащего ребра равно $3 \text{ см}$. Найдите объем призмы.

Дано:

Наклонная треугольная призма

Площадь боковой грани: $S_{бок} = 12 \text{ см}^2$

Расстояние от этой грани до противолежащего ребра: $d = 3 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:
$S_{бок} = 12 \text{ см}^2 = 12 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 12 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.0012 \text{ м}^2$
$d = 3 \text{ см} = 3 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Объем призмы: $V$

Решение:

Объем любой призмы, в том числе и наклонной, можно найти по формуле, использующей площадь перпендикулярного сечения:

$V = S_{перп} \cdot l$

где $S_{перп}$ — это площадь перпендикулярного сечения призмы, а $l$ — длина ее бокового ребра.

Перпендикулярное сечение — это многоугольник (в нашем случае треугольник), который образуется при пересечении призмы плоскостью, перпендикулярной ее боковым ребрам.

Площадь боковой грани призмы (которая является параллелограммом) равна произведению длины бокового ребра $l$ на соответствующую сторону перпендикулярного сечения $a_{перп}$.

$S_{бок} = l \cdot a_{перп}$

Из условия задачи нам известно, что $S_{бок} = 12 \text{ см}^2$. Значит, мы можем записать:

$l \cdot a_{перп} = 12$

Расстояние от боковой грани до противолежащего ей параллельного бокового ребра представляет собой высоту перпендикулярного сечения, проведенную к стороне $a_{перп}$. Обозначим эту высоту как $h_{перп}$. По условию, $d = h_{перп} = 3 \text{ см}$.

Теперь мы можем найти площадь перпендикулярного сечения, которое является треугольником, по формуле площади треугольника:

$S_{перп} = \frac{1}{2} \cdot a_{перп} \cdot h_{перп}$

Подставляем известное значение высоты $h_{перп} = 3 \text{ см}$:

$S_{перп} = \frac{1}{2} \cdot a_{перп} \cdot 3$

Теперь вернемся к формуле для вычисления объема призмы и подставим в нее выражение для $S_{перп}$:

$V = S_{перп} \cdot l = (\frac{1}{2} \cdot a_{перп} \cdot 3) \cdot l$

Перегруппируем множители в этом выражении:

$V = \frac{3}{2} \cdot (l \cdot a_{перп})$

Как мы установили ранее, произведение $l \cdot a_{перп}$ равно площади боковой грани, то есть 12. Подставляем это значение в формулу для объема:

$V = \frac{3}{2} \cdot 12 = 3 \cdot 6 = 18$

Поскольку исходные данные были в сантиметрах, объем будет в кубических сантиметрах.

Ответ: объем призмы равен $18 \text{ см}^3$.

66. В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны и имеют общее ребро, равное 2 см. Площади этих граней равны $4 \text{ см}^2$ и $6 \text{ см}^2$. Найдите объем призмы.

Дано:
Призма - треугольная.
Две боковые грани перпендикулярны.
Общее ребро двух перпендикулярных граней, $l = 2$ см.
Площадь первой грани, $S_1 = 4$ см².
Площадь второй грани, $S_2 = 6$ см².

$l = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$S_1 = 4 \text{ см}^2 = 0.0004 \text{ м}^2$
$S_2 = 6 \text{ см}^2 = 0.0006 \text{ м}^2$

Найти:
Объем призмы $V$.

Решение:
Объем любой призмы, как прямой, так и наклонной, можно вычислить по формуле:$V = S_{\perp} \cdot l$где $S_{\perp}$ — это площадь перпендикулярного сечения призмы, а $l$ — длина бокового ребра.

Перпендикулярное сечение — это многоугольник, полученный при пересечении призмы плоскостью, перпендикулярной ее боковым ребрам.

Пусть нам дана призма $ABCA'B'C'$. По условию, две ее боковые грани, например $ABB'A'$ и $ACC'A'$, перпендикулярны. Их общее ребро — $AA'$, и его длина $l = |AA'| = 2$ см. Площади этих граней равны $S_{ABB'A'} = S_1 = 4$ см² и $S_{ACC'A'} = S_2 = 6$ см².

Рассмотрим перпендикулярное сечение призмы, пусть это будет треугольник $PQR$. Так как плоскость сечения $PQR$ перпендикулярна боковым ребрам (в частности, ребру $AA'$), то стороны сечения, выходящие из вершины на этом ребре (например, $PQ$ и $PR$), будут перпендикулярны этому ребру.

Угол между перпендикулярными гранями $ABB'A'$ и $ACC'A'$ равен $90°$. Этот двугранный угол измеряется линейным углом, образованным лучами, проведенными в плоскостях граней перпендикулярно их общему ребру $AA'$. Такими лучами являются стороны нашего перпендикулярного сечения, например $PQ$ и $PR$. Следовательно, угол между ними $\angle QPR = 90°$. Это означает, что перпендикулярное сечение призмы является прямоугольным треугольником.

Площадь боковой грани призмы равна произведению длины бокового ребра на длину соответствующей стороны перпендикулярного сечения. Обозначим катеты нашего прямоугольного сечения как $a$ и $b$. Тогда:

$S_1 = l \cdot a$

$S_2 = l \cdot b$

Выразим длины катетов $a$ и $b$ из этих формул:

$a = \frac{S_1}{l} = \frac{4 \text{ см}^2}{2 \text{ см}} = 2$ см.

$b = \frac{S_2}{l} = \frac{6 \text{ см}^2}{2 \text{ см}} = 3$ см.

Теперь мы можем найти площадь перпендикулярного сечения $S_{\perp}$, которая является площадью прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$:

$S_{\perp} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 3$ см².

Наконец, вычислим объем призмы по формуле $V = S_{\perp} \cdot l$:

$V = 3 \text{ см}^2 \cdot 2 \text{ см} = 6$ см³.

Ответ: $V = 6$ см³.

67. От куба $ABCD A_1B_1C_1D_1$, ребра которого равны 3 см, отсечены четыре треугольные призмы плоскостями, которые проходят через середины смежных сторон грани $ABCD$ параллельно ребру $AA_1$. Найдите объем оставшейся части.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Ребро куба $a = 3$ см

Перевод в СИ:

$a = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Объем оставшейся части $V_{ост.}$.

Решение:

Для решения задачи найдем объем исходного куба и вычтем из него суммарный объем четырех отсеченных треугольных призм.

1. Объем исходного куба $V_{куба}$ вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ – длина ребра.

$V_{куба} = (3 \text{ см})^3 = 27 \text{ см}^3$.

2. По условию, от куба отсекаются четыре одинаковые призмы. Рассмотрим одну из них. Отсекающие плоскости проходят через середины смежных сторон грани $ABCD$ и параллельны ребру $AA_1$. Это означает, что от каждого из четырех углов основания $ABCD$ отсекается прямая треугольная призма, высота которой $h$ равна ребру куба.

$h = a = 3 \text{ см}$.

3. Основанием каждой такой призмы является прямоугольный равнобедренный треугольник. Катеты этого треугольника $k$ равны половине длины ребра куба, так как сечения проходят через середины сторон.

$k = \frac{a}{2} = \frac{3 \text{ см}}{2} = 1.5 \text{ см}$.

4. Найдем площадь основания одной призмы $S_{осн.пр.}$.

$S_{осн.пр.} = \frac{1}{2} \cdot k \cdot k = \frac{1}{2} \cdot (1.5 \text{ см})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2.25 \text{ см}^2 = 1.125 \text{ см}^2$.

5. Теперь найдем объем одной отсеченной призмы $V_{пр.}$ как произведение площади ее основания на высоту.

$V_{пр.} = S_{осн.пр.} \cdot h = 1.125 \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 3.375 \text{ см}^3$.

6. Поскольку отсечены четыре одинаковые призмы, их суммарный объем $V_{отсеч.}$ равен:

$V_{отсеч.} = 4 \cdot V_{пр.} = 4 \cdot 3.375 \text{ см}^3 = 13.5 \text{ см}^3$.

7. Объем оставшейся части $V_{ост.}$ равен разности объемов исходного куба и четырех отсеченных призм.

$V_{ост.} = V_{куба} - V_{отсеч.} = 27 \text{ см}^3 - 13.5 \text{ см}^3 = 13.5 \text{ см}^3$.

Альтернативное решение:

Оставшаяся часть представляет собой прямую призму, высота которой равна ребру куба $h=3$ см. Основанием этой призмы является фигура, полученная на грани $ABCD$ после отсечения четырех угловых треугольников. Эта фигура - квадрат, вершины которого находятся в серединах сторон квадрата $ABCD$. Площадь такого квадрата в два раза меньше площади исходного квадрата.

Площадь основания куба: $S_{ABCD} = a^2 = 3^2 = 9 \text{ см}^2$.

Площадь основания оставшейся призмы: $S_{ост.осн.} = \frac{S_{ABCD}}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ см}^2$.

Объем оставшейся части: $V_{ост.} = S_{ост.осн.} \cdot h = 4.5 \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 13.5 \text{ см}^3$.

Ответ: $13.5 \text{ см}^3$.

68. Объем правильной шестиугольной призмы равен $12 \text{ см}^3$. Найдите объем призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы.

Дано:

Исходная призма - правильная шестиугольная.

Объем исходной призмы $V_1 = 12 \text{ см}^3$.

Вершины оснований новой призмы являются серединами сторон оснований данной призмы.

Найти:

Объем новой призмы $V_2$.

Решение:

Объем любой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Пусть $V_1$ и $S_1$ — объем и площадь основания исходной призмы, а $V_2$ и $S_2$ — объем и площадь основания новой призмы. Так как новая призма построена на основании исходной, их высоты равны ($h_1 = h_2 = h$).

Тогда:

$V_1 = S_1 \cdot h$

$V_2 = S_2 \cdot h$

Отношение объемов двух призм равно отношению площадей их оснований:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{S_2 \cdot h}{S_1 \cdot h} = \frac{S_2}{S_1}$

Отсюда $V_2 = V_1 \cdot \frac{S_2}{S_1}$.

Найдем отношение площадей оснований. Основание исходной призмы — правильный шестиугольник. Обозначим длину его стороны через $a$. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

Основание новой призмы — это шестиугольник, вершины которого являются серединами сторон исходного шестиугольника. Этот новый шестиугольник также является правильным. Найдем длину его стороны, которую обозначим $b$.

Рассмотрим вершину исходного шестиугольника и середины двух смежных сторон, выходящих из этой вершины. Они образуют равнобедренный треугольник. Две его стороны равны половине стороны исходного шестиугольника ($a/2$), а угол между ними равен внутреннему углу правильного шестиугольника, то есть $120^\circ$. Сторона $b$ нового шестиугольника является основанием этого треугольника.

По теореме косинусов найдем $b^2$:

$b^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 - 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \cos(120^\circ)$

$b^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} - 2 \cdot \frac{a^2}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{2a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$

Площадь нового правильного шестиугольника со стороной $b$ равна:

$S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}b^2$

Подставим найденное выражение для $b^2$:

$S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3a^2}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{8}a^2$

Теперь найдем отношение площадей $S_2$ и $S_1$:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{9\sqrt{3}}{8}a^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2} = \frac{9\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$

Площадь основания новой призмы составляет $\frac{3}{4}$ от площади основания исходной призмы. Следовательно, и объем новой призмы составляет $\frac{3}{4}$ от объема исходной.

Вычислим объем новой призмы:

$V_2 = V_1 \cdot \frac{S_2}{S_1} = 12 \cdot \frac{3}{4} = 9 \text{ см}^3$

Ответ: $9 \text{ см}^3$.