Страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Найдите сторону основания правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в конус, радиус основания которого равен 1 см.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида вписана в конус.
Радиус основания конуса, $R = 1$ см.

Найти:

Сторону основания пирамиды, $a$.

Решение:

По условию, правильная четырехугольная пирамида вписана в конус. Это означает, что основание пирамиды (квадрат) вписано в основание конуса (круг), а их вершины совпадают.

Рассмотрим основания конуса и пирамиды. Основание пирамиды — это квадрат, вписанный в окружность, которая является основанием конуса. Радиус этой окружности равен радиусу основания конуса, $R = 1$ см.

Диагональ квадрата, вписанного в окружность, равна диаметру этой окружности.

Найдем диаметр $D$ окружности: $D = 2R = 2 \cdot 1 = 2$ см.

Таким образом, диагональ квадрата $d$ равна 2 см.

Пусть $a$ — сторона квадрата. Связь между стороной квадрата и его диагональю устанавливается по теореме Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный двумя сторонами квадрата (катеты) и его диагональю (гипотенуза): $a^2 + a^2 = d^2$

$2a^2 = d^2$

Выразим сторону $a$: $a = \sqrt{\frac{d^2}{2}} = \frac{d}{\sqrt{2}}$

Подставим значение диагонали $d = 2$ см в формулу: $a = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $a = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см.

Ответ: $\sqrt{2}$ см.

17. Найдите сторону основания правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в конус, радиус основания которого равен 1 см.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида, вписанная в конус.

Радиус основания конуса $R = 1$ см.

$R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Сторону основания пирамиды $a$.

Решение:

По условию задачи, правильная шестиугольная пирамида вписана в конус. Это означает, что основание пирамиды (правильный шестиугольник) вписано в основание конуса (окружность), а их вершины совпадают. Следовательно, все вершины правильного шестиугольника лежат на окружности основания конуса.

Таким образом, радиус основания конуса является радиусом окружности, описанной около правильного шестиугольника, который лежит в основании пирамиды. Обозначим радиус описанной окружности как $R$, а сторону правильного шестиугольника как $a$.

Известно, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности. Это можно доказать, рассмотрев шестиугольник, состоящий из шести равносторонних треугольников с вершиной в центре окружности. Стороны этих треугольников равны радиусу $R$, а основания — сторонам шестиугольника $a$.

Следовательно, справедливо равенство:

$a = R$

Так как радиус основания конуса $R = 1$ см, то и сторона основания правильной шестиугольной пирамиды $a$ также равна 1 см.

$a = 1$ см

Ответ: 1 см.

18. Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен 1 см.

Дано:

Правильная треугольная пирамида, описанная около конуса.

Радиус основания конуса, $r = 1$ см.

$r = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Сторону основания пирамиды, $a$.

Решение:

По условию, правильная треугольная пирамида описана около конуса. Это означает, что основание пирамиды, которое является правильным (равносторонним) треугольником, описано около основания конуса, которое является кругом. Следовательно, окружность основания конуса вписана в равносторонний треугольник в основании пирамиды.

Таким образом, радиус основания конуса $r$ равен радиусу вписанной в основание пирамиды окружности.

Пусть $a$ — искомая сторона равностороннего треугольника в основании пирамиды. Связь между стороной равностороннего треугольника и радиусом вписанной в него окружности $r$ определяется формулой:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Чтобы найти сторону $a$, выразим ее из этой формулы:

$a = 2\sqrt{3} \cdot r$

Подставим в формулу известное значение радиуса $r = 1$ см:

$a = 2\sqrt{3} \cdot 1 = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.

19. Найдите сторону основания правильной четырехугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен 1 см.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида, описанная около конуса.
Радиус основания конуса, $r = 1$ см.

Перевод в систему СИ:
$r = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Сторону основания пирамиды, $a$.

Решение:

По условию, пирамида является правильной четырехугольной, следовательно, в ее основании лежит квадрат. Также сказано, что пирамида описана около конуса. Это означает, что основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (квадрат), а их вершины совпадают.

Рассмотрим основания пирамиды и конуса. Мы имеем окружность, вписанную в квадрат. В этом случае диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата.

Пусть $a$ – сторона квадрата (основания пирамиды), а $r$ – радиус вписанной окружности (основания конуса). Диаметр окружности $d$ связан с радиусом соотношением:

$d = 2r$

Так как сторона квадрата равна диаметру вписанной в него окружности, то:

$a = d = 2r$

Подставим известное значение радиуса $r = 1$ см в формулу:

$a = 2 \cdot 1 \text{ см} = 2 \text{ см}$

Ответ: сторона основания пирамиды равна 2 см.

20. Найдите сторону основания правильной шестиугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен 1 см.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида, описанная около конуса.

Радиус основания конуса $r = 1$ см.

$r = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Сторону основания пирамиды $a$.

Решение:

По условию задачи правильная шестиугольная пирамида описана около конуса. Это означает, что основание пирамиды, которое является правильным шестиугольником, описано около основания конуса, которое является кругом. Вершины пирамиды и конуса совпадают.

Следовательно, радиус основания конуса $r$ является радиусом окружности, вписанной в правильный шестиугольник в основании пирамиды. Этот радиус также называют апофемой шестиугольника.

Обозначим сторону основания правильного шестиугольника как $a$.

Правильный шестиугольник можно разделить на шесть одинаковых равносторонних треугольников, соединив его центр с вершинами. Сторона каждого такого треугольника равна стороне шестиугольника $a$.

Радиус вписанной окружности $r$ (апофема) является высотой одного из этих равносторонних треугольников.

Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Так как в нашем случае радиус вписанной окружности равен высоте этого треугольника ($r = h$), мы можем записать следующее соотношение:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим в эту формулу известное значение радиуса $r = 1$ см:

$1 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Теперь выразим из этого уравнения сторону $a$:

$a = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$a = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Таким образом, сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

21. В конус, радиус основания которого равен $1 \text{ см}$, а образующая равна $2 \text{ см}$, вписана сфера. Найдите ее радиус.

Дано:

Радиус основания конуса $R = 1$ см

Образующая конуса $L = 2$ см

Найти:

Радиус вписанной сферы $r$

Решение:

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса $D = 2R$, а боковые стороны равны образующей конуса $L$. Сечение вписанной сферы представляет собой окружность, вписанную в этот треугольник.

Пусть осевое сечение конуса — это треугольник $ABC$, где $A$ — вершина конуса, а $BC$ — диаметр его основания. Тогда $AB = AC = L = 2$ см, а основание $BC = 2R = 2 \times 1 = 2$ см. Поскольку все стороны треугольника $ABC$ равны 2 см, он является равносторонним.

Высота конуса $H$ является также высотой треугольника $ABC$. Проведем высоту $AO$ из вершины $A$ к основанию $BC$. В прямоугольном треугольнике $AOB$ (где $O$ — центр основания конуса):

Катет $OB$ — это радиус основания конуса, $OB = R = 1$ см.

Гипотенуза $AB$ — это образующая конуса, $AB = L = 2$ см.

По теореме Пифагора найдем высоту конуса $H = AO$:

$H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ см.

Центр вписанной сферы (и вписанной в треугольник $ABC$ окружности) лежит на высоте $AO$. Обозначим центр сферы как точку $P$, а ее радиус как $r$. Точка $P$ лежит на отрезке $AO$.

Радиус $r$ можно найти из подобия треугольников. Проведем из центра сферы $P$ радиус $PK$ к точке касания с образующей $AB$. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $PK \perp AB$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle AOB$ и $\triangle APK$.

Они подобны по двум углам (общий острый угол $\angle PAB$ и прямые углы $\angle AOB$ и $\angle APK$).

Из подобия треугольников следует соотношение сторон:

$\frac{PK}{OB} = \frac{AP}{AB}$

Выразим длины сторон через известные величины и искомый радиус $r$:

$PK = r$ (радиус вписанной сферы)

$OB = R = 1$ см

$AB = L = 2$ см

$AP = AO - PO = H - r = \sqrt{3} - r$

Подставим эти значения в пропорцию:

$\frac{r}{1} = \frac{\sqrt{3} - r}{2}$

Решим полученное уравнение относительно $r$:

$2r = \sqrt{3} - r$

$2r + r = \sqrt{3}$

$3r = \sqrt{3}$

$r = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см

Ответ: радиус вписанной сферы равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

22. В конус, радиус основания которого равен 2 см, вписана сфера радиусом 1 см. Найдите высоту конуса.

Дано:

Радиус основания конуса $R = 2$ см $ = 0.02$ м
Радиус вписанной сферы $r = 1$ см $ = 0.01$ м

Найти:

Высоту конуса $H$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через его вершину. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность. Высота этого треугольника является высотой конуса $H$, половина основания треугольника — это радиус основания конуса $R$, а боковые стороны — образующие конуса $L$. Окружность, вписанная в треугольник, является сечением вписанной сферы, её радиус равен радиусу сферы $r$.

Обозначим вершины осевого сечения как $A$ (вершина конуса), $B$ и $C$ (точки на окружности основания). Пусть $AD$ — высота конуса, тогда $D$ — центр основания конуса. $AD = H$, $DC = R = 2$ см. Центр вписанной сферы $O$ лежит на высоте $AD$. Расстояние от центра $O$ до основания $BC$ равно радиусу сферы $r$, то есть $OD=r=1$ см. Также радиусом является перпендикуляр $OE$, опущенный из центра $O$ на образующую $AC$. Таким образом, $OE=r=1$ см.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ADC$ (образован высотой, радиусом основания и образующей конуса) и $\triangle AEO$ (образован частью высоты, радиусом сферы и частью образующей).

Эти треугольники подобны друг другу, так как у них есть общий острый угол $\angle CAD$ и по одному прямому углу ($\angle ADC = 90^\circ$ и $\angle AEO = 90^\circ$).

Из подобия треугольников $\triangle ADC \sim \triangle AEO$ следует пропорциональность их соответствующих сторон: $ \frac{DC}{OE} = \frac{AC}{AO} $

Выразим стороны через известные величины.

• $DC = R = 2$ см
• $OE = r = 1$ см
• $AO = AD - OD = H - r = H - 1$ см
• $AC$ (образующая конуса) найдем по теореме Пифагора из $\triangle ADC$: $AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{H^2 + 2^2}$

Подставим эти выражения в пропорцию: $ \frac{2}{1} = \frac{\sqrt{H^2 + 4}}{H - 1} $

Решим это уравнение относительно $H$. Заметим, что высота конуса должна быть больше радиуса вписанной сферы, то есть $H > r$, следовательно $H - 1 > 0$. $ 2(H - 1) = \sqrt{H^2 + 4} $

Возведем обе части уравнения в квадрат: $ (2(H - 1))^2 = (\sqrt{H^2 + 4})^2 $
$ 4(H^2 - 2H + 1) = H^2 + 4 $
$ 4H^2 - 8H + 4 = H^2 + 4 $
$ 4H^2 - H^2 - 8H = 4 - 4 $
$ 3H^2 - 8H = 0 $

Вынесем $H$ за скобки: $ H(3H - 8) = 0 $

Это уравнение имеет два корня: $H_1 = 0$ и $3H - 8 = 0$. Решение $H = 0$ не имеет физического смысла, так как высота конуса не может быть нулевой. Из второго уравнения находим: $ 3H = 8 $
$ H = \frac{8}{3} $

Высота конуса равна $\frac{8}{3}$ см.

Ответ: $\frac{8}{3}$ см.

23. Радиус основания конуса равен 1 см. Образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите радиус вписанной сферы.

Дано:

Радиус основания конуса $R = 1$ см.

Угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 45^\circ$.

$R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Радиус вписанной сферы $r$.

Решение:

Для удобства дальнейшие вычисления будем производить в сантиметрах (см).

Радиус вписанной в конус сферы можно найти, рассмотрев осевое сечение конуса. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, а сечение вписанной сферы — это окружность, вписанная в этот треугольник. Радиус этой окружности равен искомому радиусу сферы $r$.

Основание данного равнобедренного треугольника равно диаметру основания конуса ($2R$), боковые стороны — образующей конуса ($L$), а высота — высоте конуса ($H$). Углы при основании треугольника равны углу наклона образующей к плоскости основания, то есть $\alpha = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $R$ и образующей $L$. В этом треугольнике $H$ и $R$ — катеты, а $L$ — гипотенуза. Угол между $L$ и $R$ равен $\alpha$.

Найдем высоту конуса $H$ из соотношения в прямоугольном треугольнике:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{R}$

Подставляем известные значения:

$\tan(45^\circ) = \frac{H}{1}$

Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, получаем, что $H = 1$ см.

Радиус вписанной в треугольник окружности находится по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Вычислим площадь осевого сечения:

$S = \frac{1}{2} \cdot (\text{основание}) \cdot (\text{высота}) = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H = 1 \cdot 1 = 1 \text{ см}^2$.

Теперь найдем полупериметр. Сначала определим длину образующей $L$ по теореме Пифагора:

$L^2 = R^2 + H^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

$L = \sqrt{2}$ см.

Периметр осевого сечения равен $P = 2L + 2R = 2\sqrt{2} + 2(1) = 2(\sqrt{2} + 1)$ см.

Полупериметр $p$ равен:

$p = \frac{P}{2} = \sqrt{2} + 1$ см.

Наконец, вычисляем радиус вписанной сферы $r$:

$r = \frac{S}{p} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} - 1)$:

$r = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$ см.

Ответ: $(\sqrt{2} - 1)$ см.

24. Высота конуса равна 8 см, образующая – 10 см. Найдите радиус вписанной сферы.

Дано:

Высота конуса $H = 8$ см

Образующая конуса $L = 10$ см

Перевод в систему СИ:

$H = 8$ см = $0.08$ м

$L = 10$ см = $0.1$ м

Найти:

Радиус вписанной сферы $r$

Решение:

Для нахождения радиуса вписанной сферы рассмотрим осевое сечение конуса. Осевое сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность. Радиус этой окружности и есть искомый радиус $r$ вписанной сферы.

Высота этого треугольника равна высоте конуса $H$, боковая сторона — образующей $L$, а половина основания — радиусу основания конуса $R$.

1. Сначала найдем радиус основания конуса $R$. Высота $H$, радиус $R$ и образующая $L$ образуют прямоугольный треугольник, где $L$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + R^2$

Выразим $R$:

$R^2 = L^2 - H^2$

Подставим известные значения:

$R^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$

$R = \sqrt{36} = 6$ см.

2. Теперь найдем радиус $r$ вписанной сферы. Центр вписанной сферы лежит на высоте конуса. Рассмотрим два подобных прямоугольных треугольника в осевом сечении:

• Первый треугольник: образован высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей $L$.
• Второй треугольник: образован радиусом вписанной сферы $r$ (перпендикулярным к образующей) и отрезком высоты от вершины конуса до центра сферы, который равен $H-r$.

Эти треугольники подобны по общему острому углу при вершине конуса. Из подобия следует отношение соответствующих сторон:

$\frac{r}{R} = \frac{H - r}{L}$

Подставим известные числовые значения $H = 8$, $R = 6$ и $L = 10$:

$\frac{r}{6} = \frac{8 - r}{10}$

Для решения этого уравнения используем свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$10 \cdot r = 6 \cdot (8 - r)$

$10r = 48 - 6r$

Перенесем члены с $r$ в левую часть уравнения:

$10r + 6r = 48$

$16r = 48$

$r = \frac{48}{16}$

$r = 3$ см.

Ответ: 3 см.

25. В усеченный конус, радиусы оснований которого равны 2 см и 1 см, вписана сфера. Найдите высоту усеченного конуса.

Дано:

Усеченный конус.
Радиус большего основания $R = 2 \text{ см}$.
Радиус меньшего основания $r = 1 \text{ см}$.
В конус вписана сфера.

$R = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$r = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Высоту усеченного конуса $H$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию, в которую вписана окружность (сечение вписанной сферы).

Основаниями трапеции являются диаметры оснований усеченного конуса:
$a = 2R = 2 \cdot 2 = 4 \text{ см}$
$b = 2r = 2 \cdot 1 = 2 \text{ см}$

Боковая сторона трапеции равна образующей усеченного конуса $l$. Высота трапеции равна высоте усеченного конуса $H$.

Для того чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противоположных сторон были равны. Для нашей равнобедренной трапеции это свойство выглядит так:
$a + b = l + l = 2l$

Подставим значения оснований:
$4 + 2 = 2l$
$6 = 2l$
$l = 3 \text{ см}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, образующей $l$ и разностью радиусов оснований $(R-r)$. В этом треугольнике $l$ является гипотенузой, а $H$ и $(R-r)$ — катетами. По теореме Пифагора:
$l^2 = H^2 + (R-r)^2$

Выразим высоту $H$:
$H^2 = l^2 - (R-r)^2$

Подставим известные значения:
$H^2 = 3^2 - (2-1)^2$
$H^2 = 9 - 1^2$
$H^2 = 8$
$H = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \text{ см}$

Альтернативный способ:
Можно вывести общую формулу для высоты. Из свойства описанной трапеции имеем $l = R+r$. Подставим это в формулу теоремы Пифагора:
$(R+r)^2 = H^2 + (R-r)^2$
$H^2 = (R+r)^2 - (R-r)^2$
Используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$H^2 = ((R+r)-(R-r))((R+r)+(R-r))$
$H^2 = (2r)(2R) = 4Rr$
$H = \sqrt{4Rr} = 2\sqrt{Rr}$
Подставив наши значения $R=2$ и $r=1$:
$H = 2\sqrt{2 \cdot 1} = 2\sqrt{2} \text{ см}$

Ответ: $2\sqrt{2} \text{ см}$.

26. В усеченный конус, радиус одного основания которого равен 2 см, вписана сфера радиусом 1 см. Найдите радиус второго основания.

Дано:

Усеченный конус, в который вписана сфера.
Радиус одного основания $R_1 = 2$ см.
Радиус вписанной сферы $r_{сф} = 1$ см.

$R_1 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$r_{сф} = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус второго основания $R_2$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию, в которую вписана окружность, являющаяся сечением вписанной сферы.

Пусть $R$ и $r$ – радиусы большего и меньшего оснований усеченного конуса соответственно, $l$ – его образующая, а $h$ – высота. Радиус вписанной сферы равен $r_{сф}$.

Высота усеченного конуса, в который вписана сфера, равна диаметру этой сферы.$h = 2r_{сф} = 2 \cdot 1 \text{ см} = 2 \text{ см}.$

Для любой равнобокой трапеции, в которую можно вписать окружность, справедливо свойство: сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Основания нашей трапеции равны $2R$ и $2r$, а боковые стороны равны $l$.Следовательно, $2R + 2r = l + l = 2l$, откуда получаем важное соотношение:$R + r = l$.

Проведем высоту из вершины меньшего основания трапеции к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза – это образующая $l$, один катет – это высота конуса $h$, а второй катет – разность радиусов оснований $(R-r)$.

По теореме Пифагора:$l^2 = h^2 + (R-r)^2$.

Теперь подставим в это уравнение ранее полученные выражения для $l$ и $h$:$(R+r)^2 = (2r_{сф})^2 + (R-r)^2$.

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:$R^2 + 2Rr + r^2 = 4r_{сф}^2 + R^2 - 2Rr + r^2$.

Сократим одинаковые слагаемые $R^2$ и $r^2$ в обеих частях уравнения:$2Rr = 4r_{сф}^2 - 2Rr$.

Перенесем $-2Rr$ в левую часть:$4Rr = 4r_{сф}^2$.

Разделим обе части на 4, получив окончательную формулу для радиусов оснований усеченного конуса и радиуса вписанной в него сферы:$R \cdot r = r_{сф}^2$.

В условии задачи даны радиус одного из оснований $R_1 = 2$ см и радиус сферы $r_{сф} = 1$ см. Обозначим искомый радиус второго основания как $R_2$. Тогда, согласно полученной формуле, произведение радиусов оснований равно квадрату радиуса вписанной сферы.$R_1 \cdot R_2 = r_{сф}^2$.

Подставим известные значения:$2 \cdot R_2 = 1^2$$2 \cdot R_2 = 1$$R_2 = \frac{1}{2} = 0.5$ см.

Так как $0.5 \text{ см} < 2 \text{ см}$, найденный радиус является радиусом меньшего основания, а данный радиус $2$ см — радиусом большего основания. Условие выполнено.

Ответ: радиус второго основания равен 0,5 см.

27. В усеченном конусе радиус большего основания равен 2 см, образующая наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$. Найдите радиус вписанной сферы.

Дано:
Усеченный конус, в который можно вписать сферу.
Радиус большего основания: $R = 2$ см.
Угол наклона образующей к плоскости основания: $\alpha = 60°$.

Перевод в СИ:
$R = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.

Найти:
Радиус вписанной сферы $r_{сф}$.

Решение:

Осевое сечение усеченного конуса, в который вписана сфера, представляет собой равнобокую трапецию с вписанной в нее окружностью. Эта окружность является большим кругом вписанной сферы. Пусть $R$ и $r$ – радиусы большего и меньшего оснований конуса, $l$ – его образующая, а $H$ – высота.

Радиус вписанной сферы $r_{сф}$ равен радиусу окружности, вписанной в трапецию. Диаметр этой окружности равен высоте трапеции, поэтому $r_{сф} = \frac{H}{2}$.

Важным свойством усеченного конуса, в который можно вписать сферу, является то, что его образующая равна сумме радиусов оснований: $l = R + r$. Это вытекает из свойства описанного четырехугольника (осевого сечения), у которого суммы длин противоположных сторон равны: $2R + 2r = l + l$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуется высотой $H$, образующей $l$ (гипотенуза) и катетом, равным разности радиусов $R-r$. Угол между образующей и большим основанием в этом треугольнике равен заданному углу $\alpha$.

Из теоремы Пифагора для этого треугольника следует: $l^2 = H^2 + (R-r)^2$. Подставив условие $l = R+r$, получаем:

$(R+r)^2 = H^2 + (R-r)^2$

$R^2 + 2Rr + r^2 = H^2 + R^2 - 2Rr + r^2$

$4Rr = H^2$, откуда $H = 2\sqrt{Rr}$.

Из того же прямоугольного треугольника можно записать тригонометрическое соотношение:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{R-r}$.

Подставим в него выражение для $H$ и известные значения $R=2$ см и $\alpha=60°$ ($\tan(60°) = \sqrt{3}$):

$\tan(60°) = \frac{2\sqrt{2r}}{2-r} \implies \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{2r}}{2-r}$.

Чтобы решить это уравнение относительно $r$, возведем обе части в квадрат:

$3 = \frac{(2\sqrt{2r})^2}{(2-r)^2} = \frac{8r}{4 - 4r + r^2}$.

$3(4 - 4r + r^2) = 8r$

$12 - 12r + 3r^2 = 8r$

$3r^2 - 20r + 12 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-20)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 400 - 144 = 256 = 16^2$.

Корни уравнения: $r = \frac{20 \pm 16}{6}$.

$r_1 = \frac{20 + 16}{6} = 6$; $r_2 = \frac{20 - 16}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Радиус меньшего основания $r$ должен быть меньше радиуса большего основания ($r < R = 2$ см), поэтому подходит только корень $r = \frac{2}{3}$ см.

Теперь найдем радиус вписанной сферы. Мы знаем, что $r_{сф} = \frac{H}{2}$ и $H = 2\sqrt{Rr}$, следовательно, $r_{сф} = \sqrt{Rr}$.

Подставляем найденные значения $R$ и $r$:

$r_{сф} = \sqrt{2 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

дите радиус вписанной сферы.

28. Образующая усеченного конуса равна 2 см, площадь осевого сечения 3 см. Найдите радиус вписанной сферы.

Дано:

Усеченный конус

Образующая $l = 2$ см

Площадь осевого сечения $S_{ос} = 3$ см²

В конус вписана сфера

$l = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$S_{ос} = 3 \text{ см}^2 = 3 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

Радиус вписанной сферы $r_{сф}$

Решение:

Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобокую трапецию. Основаниями этой трапеции являются диаметры оснований конуса (обозначим их радиусы как $R$ и $r$, тогда основания трапеции равны $2R$ и $2r$), а боковыми сторонами — образующие конуса ($l$). Высота трапеции является высотой усеченного конуса ($h$).

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S_{ос} = \frac{2R + 2r}{2} \cdot h = (R+r) \cdot h$

По условию, в усеченный конус вписана сфера. Это возможно только в том случае, если в его осевое сечение (равнобокую трапецию) можно вписать окружность. Свойство описанной около окружности трапеции гласит, что суммы длин ее противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает:

$2R + 2r = l + l = 2l$

Разделив обе части уравнения на 2, получаем важное соотношение:

$R+r = l$

Подставим известное значение образующей $l=2$ см:

$R+r = 2 \text{ см}$

Теперь мы можем подставить это выражение в формулу для площади осевого сечения:

$S_{ос} = (R+r) \cdot h = l \cdot h$

Используя данные из условия ($S_{ос}=3$ см² и $l=2$ см), найдем высоту конуса $h$:

$3 = 2 \cdot h$

$h = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ см}$

Диаметр вписанной в усеченный конус сферы равен высоте конуса $h$. Следовательно, радиус вписанной сферы $r_{сф}$ равен половине высоты:

$r_{сф} = \frac{h}{2}$

Подставим найденное значение высоты:

$r_{сф} = \frac{1.5}{2} = 0.75 \text{ см}$

Ответ: 0.75 см.

29. Около конуса, радиус основания которого равен 1 см, а образующая равна 2 см, описана сфера. Найдите ее радиус.

Дано:

Конус, у которого радиус основания $r = 1$ см.

Образующая конуса $l = 2$ см.

Около конуса описана сфера.

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Сфера, описанная около конуса, проходит через его вершину и все точки окружности основания. Это означает, что центр описанной сферы лежит на оси конуса.

Рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Сечением конуса будет равнобедренный треугольник, а сечением сферы — большая окружность, которая описана около этого треугольника. Радиус этой окружности и есть искомый радиус сферы $R$.

Основание этого равнобедренного треугольника равно диаметру основания конуса $2r$, а боковые стороны равны образующей $l$.

Сначала найдем высоту конуса $H$. Высота, радиус основания и образующая конуса образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$l^2 = H^2 + r^2$

Выразим и вычислим высоту $H$:

$H = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ см.

Теперь снова рассмотрим осевое сечение. Пусть $O$ — центр описанной сферы, который лежит на высоте конуса $H$. Пусть $R$ — радиус сферы. Расстояние от центра сферы $O$ до вершины конуса равно $R$, и расстояние от центра сферы $O$ до любой точки на окружности основания также равно $R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания конуса $r$ и отрезок на оси конуса, равный $(H - R)$, а гипотенузой — радиус сферы $R$. Применим к этому треугольнику теорему Пифагора:

$R^2 = r^2 + (H - R)^2$

Подставим известные значения $r=1$ и $H=\sqrt{3}$ и решим уравнение относительно $R$:

$R^2 = 1^2 + (\sqrt{3} - R)^2$

$R^2 = 1 + ((\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot R + R^2)$

$R^2 = 1 + 3 - 2\sqrt{3}R + R^2$

$R^2 = 4 - 2\sqrt{3}R + R^2$

Вычтем $R^2$ из обеих частей уравнения:

$0 = 4 - 2\sqrt{3}R$

Перенесем член с $R$ в левую часть:

$2\sqrt{3}R = 4$

Выразим $R$:

$R = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$R = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $R = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

30. Около конуса, радиус основания которого равен 4 см, описана сфера радиусом 5 см. Найдите высоту конуса.

31. Радиус основания цилиндра равен 1 см.

Дано:

Радиус основания конуса $r = 4$ см.

Радиус описанной сферы $R = 5$ см.

Перевод в систему СИ:

$r = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$.

$R = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$.

Найти:

Высоту конуса $h$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение конуса и описанной около него сферы. Сечением будет равнобедренный треугольник, вписанный в большую окружность сферы. Обозначим радиус сферы как $R$, радиус основания конуса как $r$, а высоту конуса как $h$.

Центр сферы $O$ лежит на оси конуса. Вершина конуса $V$ и любая точка $A$ на окружности основания конуса лежат на поверхности сферы. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAC$, где $C$ — центр основания конуса. В этом треугольнике гипотенузой является радиус сферы $OA = R$, а катетами — радиус основания конуса $AC = r$ и расстояние от центра сферы до плоскости основания конуса $OC$.

По теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + (OC)^2$

Выразим и вычислим расстояние $OC$:

$OC = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см.

Высота конуса $h$ — это расстояние $VC$. Точки $V$, $O$, $C$ лежат на одной прямой (оси конуса), а расстояние от центра сферы до вершины конуса $OV$ равно радиусу сферы $R$. Существует два возможных случая взаимного расположения точек:

1. Центр сферы $O$ лежит между вершиной конуса $V$ и центром его основания $C$. Это соответствует случаю, когда высота конуса больше радиуса сферы. Тогда высота конуса равна сумме расстояний $OV$ и $OC$:

$h_1 = OV + OC = R + OC = 5 + 3 = 8$ см.

2. Центр основания $C$ лежит между вершиной конуса $V$ и центром сферы $O$. Это соответствует случаю, когда высота конуса меньше радиуса сферы. Тогда высота конуса равна разности расстояний $OV$ и $OC$:

$h_2 = OV - OC = R - OC = 5 - 3 = 2$ см.

Поскольку в условии задачи не содержится уточнений, исключающих один из вариантов, задача имеет два решения.

Ответ: 8 см или 2 см.

31. Радиус основания конуса равен 1 см. Образующая наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите радиус описанной сферы.

Дано:

Радиус основания конуса $r = 1$ см.

Угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 45^\circ$.

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Центр сферы, описанной около конуса, лежит на оси конуса. Рассмотрим осевое сечение конуса и сферы. Сечением конуса является равнобедренный треугольник, а сечением сферы — большая окружность, которая описана около этого треугольника. Радиус этой окружности равен радиусу описанной сферы $R$.

Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник, являющийся осевым сечением конуса, где $A$ — вершина конуса, $BC$ — диаметр основания, а точка $O$ — центр основания. Тогда $AO$ — высота конуса ($H$), а $OC$ — его радиус ($r$).

Треугольник $AOC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$. Угол между образующей $AC$ и плоскостью основания — это угол $\angle ACO$. По условию, $\angle ACO = 45^\circ$.

Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, то второй острый угол, $\angle CAO$, равен:

$\angle CAO = 90^\circ - \angle ACO = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку углы $\angle ACO$ и $\angle CAO$ равны, треугольник $AOC$ является равнобедренным. Это означает, что его катеты равны:

$H = AO = OC = r = 1$ см.

Теперь рассмотрим всё осевое сечение — треугольник $ABC$. Угол при его вершине $A$, $\angle BAC$, состоит из двух углов $\angle CAO$ и $\angle BAO$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, $\angle CAO = \angle BAO = 45^\circ$.

$\angle BAC = 2 \cdot \angle CAO = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.

Следовательно, осевое сечение конуса является прямоугольным треугольником. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы, а ее радиус равен половине длины гипотенузы.

Гипотенузой треугольника $ABC$ является диаметр основания конуса $BC$.

$BC = 2r = 2 \cdot 1 = 2$ см.

Таким образом, радиус описанной сферы $R$ равен половине $BC$:

$R = \frac{BC}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Ответ: $1$ см.

32. Высота конуса равна 8 см, образующая — 10 см. Найдите радиус описанной сферы.

Дано:

Высота конуса $H = 8$ см

Образующая конуса $L = 10$ см

Перевод в систему СИ:

$H = 0.08$ м

$L = 0.10$ м

Найти:

Радиус описанной сферы $R$

Решение:

Для нахождения радиуса описанной сферы рассмотрим осевое сечение конуса и сферы. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, а сечение сферы — большую окружность, которая описана около этого треугольника. Высота данного треугольника равна высоте конуса $H$, а его боковые стороны равны образующей конуса $L$.

1. Сначала найдем радиус основания конуса $r$. Высота $H$, радиус основания $r$ и образующая $L$ конуса образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой. Согласно теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + r^2$

Выразим и вычислим радиус основания $r$:

$r^2 = L^2 - H^2$

$r = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

2. Центр $O$ описанной сферы лежит на оси симметрии конуса, которая совпадает с высотой $AM$ равнобедренного треугольника в сечении (где $A$ — вершина конуса, $M$ — центр основания).

Пусть $R$ — радиус описанной сферы. Расстояние от центра сферы $O$ до вершины конуса $A$ равно радиусу $R$ ($OA = R$). Расстояние от центра сферы $O$ до любой точки на окружности основания, например, точки $B$, также равно радиусу $R$ ($OB = R$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMB$, образованный радиусом основания конуса $MB=r$, отрезком высоты $OM$ и радиусом сферы $OB=R$.

Длина отрезка $OM$ равна разности высоты конуса $H$ и расстояния $OA=R$ (так как точка $O$ находится на отрезке $AM$):

$OM = AM - AO = H - R$

Применим теорему Пифагора к треугольнику $\triangle OMB$:

$OB^2 = OM^2 + MB^2$

Подставим в это уравнение известные нам величины и выражения:

$R^2 = (H - R)^2 + r^2$

$R^2 = (8 - R)^2 + 6^2$

Теперь решим полученное уравнение относительно $R$:

$R^2 = 64 - 16R + R^2 + 36$

Сокращаем $R^2$ с обеих сторон:

$0 = 64 - 16R + 36$

$0 = 100 - 16R$

Переносим $16R$ в левую часть:

$16R = 100$

$R = \frac{100}{16} = \frac{25}{4} = 6.25$ см.

Ответ: радиус описанной сферы равен 6,25 см.

33. Около усеченного конуса, радиусы оснований которого равны $2$ см и $1$ см, а образующая равна $2$ см, описана сфера. Найдите ее радиус.

Дано:

Радиус большего основания усеченного конуса: $r_1 = 2$ см.

Радиус меньшего основания усеченного конуса: $r_2 = 1$ см.

Образующая усеченного конуса: $l = 2$ см.

Перевод в СИ:
$r_1 = 0.02$ м.
$r_2 = 0.01$ м.
$l = 0.02$ м.

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Чтобы найти радиус описанной сферы $R$, рассмотрим осевое сечение усеченного конуса и сферы. Сечением сферы является большой круг радиуса $R$. Сечением усеченного конуса является равнобокая трапеция, вписанная в этот круг.

Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса: $a = 2r_1 = 2 \cdot 2 = 4$ см и $b = 2r_2 = 2 \cdot 1 = 2$ см. Боковая сторона трапеции равна образующей конуса $l=2$ см.

Найдем высоту трапеции $h$. Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Получим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна боковой стороне $l$, один катет — высота трапеции $h$, а другой катет — разность радиусов оснований: $r_1 - r_2$.

По теореме Пифагора:

$h^2 + (r_1 - r_2)^2 = l^2$

$h^2 + (2 - 1)^2 = 2^2$

$h^2 + 1 = 4$

$h = \sqrt{3}$ см.

Радиус сферы $R$ является радиусом окружности, описанной около нашей равнобокой трапеции. Радиус окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника, образованного тремя любыми вершинами трапеции.

Рассмотрим треугольник, образованный большим основанием трапеции, одной из ее боковых сторон и диагональю. Пусть стороны этого треугольника — это большее основание $a=4$ см, боковая сторона $l=2$ см и диагональ трапеции $d$.

Найдем длину диагонали $d$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции $h$, диагональю $d$ (гипотенуза) и частью большего основания. Длина этой части основания равна $a$ минус отрезок, равный $r_1 - r_2$, то есть $2r_1 - (r_1 - r_2) = r_1 + r_2 = 2 + 1 = 3$ см.

По теореме Пифагора для этого треугольника:

$d^2 = h^2 + (r_1 + r_2)^2$

$d^2 = (\sqrt{3})^2 + 3^2 = 3 + 9 = 12$

$d = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь у нас есть треугольник со сторонами $4$ см, $2$ см и $2\sqrt{3}$ см, вписанный в окружность радиуса $R$. Найдем радиус $R$ описанной около него окружности по формуле:

$R = \frac{xyz}{4S}$, где $x, y, z$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

Площадь нашего треугольника (с основанием $a=4$ и высотой $h=\sqrt{3}$):

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см$^2$.

Подставляем все известные значения в формулу для радиуса:

$R = \frac{4 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3}}{4 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{8\sqrt{3}} = 2$ см.

Интересно отметить, что так как $R = r_1 = 2$ см, центр описанной сферы лежит в плоскости большего основания усеченного конуса.

Ответ: радиус описанной сферы равен 2 см.