Номер 26, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26. В усеченный конус, радиус одного основания которого равен 2 см, вписана сфера радиусом 1 см. Найдите радиус второго основания.

Дано:

Усеченный конус, в который вписана сфера.
Радиус одного основания $R_1 = 2$ см.
Радиус вписанной сферы $r_{сф} = 1$ см.

$R_1 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$r_{сф} = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус второго основания $R_2$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию, в которую вписана окружность, являющаяся сечением вписанной сферы.

Пусть $R$ и $r$ – радиусы большего и меньшего оснований усеченного конуса соответственно, $l$ – его образующая, а $h$ – высота. Радиус вписанной сферы равен $r_{сф}$.

Высота усеченного конуса, в который вписана сфера, равна диаметру этой сферы.$h = 2r_{сф} = 2 \cdot 1 \text{ см} = 2 \text{ см}.$

Для любой равнобокой трапеции, в которую можно вписать окружность, справедливо свойство: сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Основания нашей трапеции равны $2R$ и $2r$, а боковые стороны равны $l$.Следовательно, $2R + 2r = l + l = 2l$, откуда получаем важное соотношение:$R + r = l$.

Проведем высоту из вершины меньшего основания трапеции к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза – это образующая $l$, один катет – это высота конуса $h$, а второй катет – разность радиусов оснований $(R-r)$.

По теореме Пифагора:$l^2 = h^2 + (R-r)^2$.

Теперь подставим в это уравнение ранее полученные выражения для $l$ и $h$:$(R+r)^2 = (2r_{сф})^2 + (R-r)^2$.

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:$R^2 + 2Rr + r^2 = 4r_{сф}^2 + R^2 - 2Rr + r^2$.

Сократим одинаковые слагаемые $R^2$ и $r^2$ в обеих частях уравнения:$2Rr = 4r_{сф}^2 - 2Rr$.

Перенесем $-2Rr$ в левую часть:$4Rr = 4r_{сф}^2$.

Разделим обе части на 4, получив окончательную формулу для радиусов оснований усеченного конуса и радиуса вписанной в него сферы:$R \cdot r = r_{сф}^2$.

В условии задачи даны радиус одного из оснований $R_1 = 2$ см и радиус сферы $r_{сф} = 1$ см. Обозначим искомый радиус второго основания как $R_2$. Тогда, согласно полученной формуле, произведение радиусов оснований равно квадрату радиуса вписанной сферы.$R_1 \cdot R_2 = r_{сф}^2$.

Подставим известные значения:$2 \cdot R_2 = 1^2$$2 \cdot R_2 = 1$$R_2 = \frac{1}{2} = 0.5$ см.

Так как $0.5 \text{ см} < 2 \text{ см}$, найденный радиус является радиусом меньшего основания, а данный радиус $2$ см — радиусом большего основания. Условие выполнено.

Ответ: радиус второго основания равен 0,5 см.