Номер 22, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

22. В конус, радиус основания которого равен 2 см, вписана сфера радиусом 1 см. Найдите высоту конуса.

Дано:

Радиус основания конуса $R = 2$ см $ = 0.02$ м
Радиус вписанной сферы $r = 1$ см $ = 0.01$ м

Найти:

Высоту конуса $H$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через его вершину. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность. Высота этого треугольника является высотой конуса $H$, половина основания треугольника — это радиус основания конуса $R$, а боковые стороны — образующие конуса $L$. Окружность, вписанная в треугольник, является сечением вписанной сферы, её радиус равен радиусу сферы $r$.

Обозначим вершины осевого сечения как $A$ (вершина конуса), $B$ и $C$ (точки на окружности основания). Пусть $AD$ — высота конуса, тогда $D$ — центр основания конуса. $AD = H$, $DC = R = 2$ см. Центр вписанной сферы $O$ лежит на высоте $AD$. Расстояние от центра $O$ до основания $BC$ равно радиусу сферы $r$, то есть $OD=r=1$ см. Также радиусом является перпендикуляр $OE$, опущенный из центра $O$ на образующую $AC$. Таким образом, $OE=r=1$ см.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ADC$ (образован высотой, радиусом основания и образующей конуса) и $\triangle AEO$ (образован частью высоты, радиусом сферы и частью образующей).

Эти треугольники подобны друг другу, так как у них есть общий острый угол $\angle CAD$ и по одному прямому углу ($\angle ADC = 90^\circ$ и $\angle AEO = 90^\circ$).

Из подобия треугольников $\triangle ADC \sim \triangle AEO$ следует пропорциональность их соответствующих сторон: $ \frac{DC}{OE} = \frac{AC}{AO} $

Выразим стороны через известные величины.

• $DC = R = 2$ см
• $OE = r = 1$ см
• $AO = AD - OD = H - r = H - 1$ см
• $AC$ (образующая конуса) найдем по теореме Пифагора из $\triangle ADC$: $AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{H^2 + 2^2}$

Подставим эти выражения в пропорцию: $ \frac{2}{1} = \frac{\sqrt{H^2 + 4}}{H - 1} $

Решим это уравнение относительно $H$. Заметим, что высота конуса должна быть больше радиуса вписанной сферы, то есть $H > r$, следовательно $H - 1 > 0$. $ 2(H - 1) = \sqrt{H^2 + 4} $

Возведем обе части уравнения в квадрат: $ (2(H - 1))^2 = (\sqrt{H^2 + 4})^2 $
$ 4(H^2 - 2H + 1) = H^2 + 4 $
$ 4H^2 - 8H + 4 = H^2 + 4 $
$ 4H^2 - H^2 - 8H = 4 - 4 $
$ 3H^2 - 8H = 0 $

Вынесем $H$ за скобки: $ H(3H - 8) = 0 $

Это уравнение имеет два корня: $H_1 = 0$ и $3H - 8 = 0$. Решение $H = 0$ не имеет физического смысла, так как высота конуса не может быть нулевой. Из второго уравнения находим: $ 3H = 8 $
$ H = \frac{8}{3} $

Высота конуса равна $\frac{8}{3}$ см.

Ответ: $\frac{8}{3}$ см.