Номер 21, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

21. В конус, радиус основания которого равен $1 \text{ см}$, а образующая равна $2 \text{ см}$, вписана сфера. Найдите ее радиус.

Дано:

Радиус основания конуса $R = 1$ см

Образующая конуса $L = 2$ см

Найти:

Радиус вписанной сферы $r$

Решение:

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса $D = 2R$, а боковые стороны равны образующей конуса $L$. Сечение вписанной сферы представляет собой окружность, вписанную в этот треугольник.

Пусть осевое сечение конуса — это треугольник $ABC$, где $A$ — вершина конуса, а $BC$ — диаметр его основания. Тогда $AB = AC = L = 2$ см, а основание $BC = 2R = 2 \times 1 = 2$ см. Поскольку все стороны треугольника $ABC$ равны 2 см, он является равносторонним.

Высота конуса $H$ является также высотой треугольника $ABC$. Проведем высоту $AO$ из вершины $A$ к основанию $BC$. В прямоугольном треугольнике $AOB$ (где $O$ — центр основания конуса):

Катет $OB$ — это радиус основания конуса, $OB = R = 1$ см.

Гипотенуза $AB$ — это образующая конуса, $AB = L = 2$ см.

По теореме Пифагора найдем высоту конуса $H = AO$:

$H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ см.

Центр вписанной сферы (и вписанной в треугольник $ABC$ окружности) лежит на высоте $AO$. Обозначим центр сферы как точку $P$, а ее радиус как $r$. Точка $P$ лежит на отрезке $AO$.

Радиус $r$ можно найти из подобия треугольников. Проведем из центра сферы $P$ радиус $PK$ к точке касания с образующей $AB$. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $PK \perp AB$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle AOB$ и $\triangle APK$.

Они подобны по двум углам (общий острый угол $\angle PAB$ и прямые углы $\angle AOB$ и $\angle APK$).

Из подобия треугольников следует соотношение сторон:

$\frac{PK}{OB} = \frac{AP}{AB}$

Выразим длины сторон через известные величины и искомый радиус $r$:

$PK = r$ (радиус вписанной сферы)

$OB = R = 1$ см

$AB = L = 2$ см

$AP = AO - PO = H - r = \sqrt{3} - r$

Подставим эти значения в пропорцию:

$\frac{r}{1} = \frac{\sqrt{3} - r}{2}$

Решим полученное уравнение относительно $r$:

$2r = \sqrt{3} - r$

$2r + r = \sqrt{3}$

$3r = \sqrt{3}$

$r = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см

Ответ: радиус вписанной сферы равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см.