Номер 23, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

23. Радиус основания конуса равен 1 см. Образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите радиус вписанной сферы.

Дано:

Радиус основания конуса $R = 1$ см.

Угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 45^\circ$.

$R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Радиус вписанной сферы $r$.

Решение:

Для удобства дальнейшие вычисления будем производить в сантиметрах (см).

Радиус вписанной в конус сферы можно найти, рассмотрев осевое сечение конуса. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, а сечение вписанной сферы — это окружность, вписанная в этот треугольник. Радиус этой окружности равен искомому радиусу сферы $r$.

Основание данного равнобедренного треугольника равно диаметру основания конуса ($2R$), боковые стороны — образующей конуса ($L$), а высота — высоте конуса ($H$). Углы при основании треугольника равны углу наклона образующей к плоскости основания, то есть $\alpha = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $R$ и образующей $L$. В этом треугольнике $H$ и $R$ — катеты, а $L$ — гипотенуза. Угол между $L$ и $R$ равен $\alpha$.

Найдем высоту конуса $H$ из соотношения в прямоугольном треугольнике:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{R}$

Подставляем известные значения:

$\tan(45^\circ) = \frac{H}{1}$

Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, получаем, что $H = 1$ см.

Радиус вписанной в треугольник окружности находится по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Вычислим площадь осевого сечения:

$S = \frac{1}{2} \cdot (\text{основание}) \cdot (\text{высота}) = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H = 1 \cdot 1 = 1 \text{ см}^2$.

Теперь найдем полупериметр. Сначала определим длину образующей $L$ по теореме Пифагора:

$L^2 = R^2 + H^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

$L = \sqrt{2}$ см.

Периметр осевого сечения равен $P = 2L + 2R = 2\sqrt{2} + 2(1) = 2(\sqrt{2} + 1)$ см.

Полупериметр $p$ равен:

$p = \frac{P}{2} = \sqrt{2} + 1$ см.

Наконец, вычисляем радиус вписанной сферы $r$:

$r = \frac{S}{p} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} - 1)$:

$r = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$ см.

Ответ: $(\sqrt{2} - 1)$ см.