Номер 30, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

30. Около конуса, радиус основания которого равен 4 см, описана сфера радиусом 5 см. Найдите высоту конуса.

31. Радиус основания цилиндра равен 1 см.

Дано:

Радиус основания конуса $r = 4$ см.

Радиус описанной сферы $R = 5$ см.

Перевод в систему СИ:

$r = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$.

$R = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$.

Найти:

Высоту конуса $h$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение конуса и описанной около него сферы. Сечением будет равнобедренный треугольник, вписанный в большую окружность сферы. Обозначим радиус сферы как $R$, радиус основания конуса как $r$, а высоту конуса как $h$.

Центр сферы $O$ лежит на оси конуса. Вершина конуса $V$ и любая точка $A$ на окружности основания конуса лежат на поверхности сферы. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAC$, где $C$ — центр основания конуса. В этом треугольнике гипотенузой является радиус сферы $OA = R$, а катетами — радиус основания конуса $AC = r$ и расстояние от центра сферы до плоскости основания конуса $OC$.

По теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + (OC)^2$

Выразим и вычислим расстояние $OC$:

$OC = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см.

Высота конуса $h$ — это расстояние $VC$. Точки $V$, $O$, $C$ лежат на одной прямой (оси конуса), а расстояние от центра сферы до вершины конуса $OV$ равно радиусу сферы $R$. Существует два возможных случая взаимного расположения точек:

1. Центр сферы $O$ лежит между вершиной конуса $V$ и центром его основания $C$. Это соответствует случаю, когда высота конуса больше радиуса сферы. Тогда высота конуса равна сумме расстояний $OV$ и $OC$:

$h_1 = OV + OC = R + OC = 5 + 3 = 8$ см.

2. Центр основания $C$ лежит между вершиной конуса $V$ и центром сферы $O$. Это соответствует случаю, когда высота конуса меньше радиуса сферы. Тогда высота конуса равна разности расстояний $OV$ и $OC$:

$h_2 = OV - OC = R - OC = 5 - 3 = 2$ см.

Поскольку в условии задачи не содержится уточнений, исключающих один из вариантов, задача имеет два решения.

Ответ: 8 см или 2 см.