Номер 34, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

34. Радиус меньшего основания усеченного конуса равен 1 см, образующая равна 2 см и составляет угол $45^\circ$ с плоскостью другого основания. Найдите радиус описанной сферы.

Дано:

Усеченный конус

Радиус меньшего основания, $r = 1 \text{ см}$

Образующая, $l = 2 \text{ см}$

Угол между образующей и плоскостью большего основания, $\alpha = 45^\circ$

Найти:

Радиус описанной сферы, $R_с$

Решение:

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию, вписанную в большую окружность описанной сферы. Радиус этой окружности и есть искомый радиус сферы $R_с$.

Пусть $R$ – радиус большего основания конуса, а $h$ – его высота.

1. Найдем высоту $h$ и радиус большего основания $R$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, образующей $l$ (в качестве гипотенузы) и разностью радиусов $R-r$ (в качестве катета). Угол между образующей $l$ и катетом $R-r$ равен $\alpha$.

Высота $h$ находится как катет, противолежащий углу $\alpha$:

$h = l \cdot \sin(\alpha) = 2 \cdot \sin(45^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \text{ см}$.

Разность радиусов $R-r$ находится как катет, прилежащий к углу $\alpha$:

$R - r = l \cdot \cos(\alpha) = 2 \cdot \cos(45^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \text{ см}$.

Зная, что $r = 1$ см, найдем $R$:

$R = r + \sqrt{2} = 1 + \sqrt{2} \text{ см}$.

2. Теперь найдем радиус $R_с$ описанной сферы. Центр описанной сферы лежит на оси симметрии усеченного конуса. Расположим осевое сечение в системе координат так, чтобы центр большего основания совпадал с началом координат (0, 0), а ось конуса совпадала с осью $OY$.

Тогда координаты точек на окружностях оснований будут:

– точка на окружности большего основания: $A(R, 0)$, т.е. $A(1+\sqrt{2}, 0)$.

– точка на окружности меньшего основания: $B(r, h)$, т.е. $B(1, \sqrt{2})$.

Центр описанной сферы $O_с$ лежит на оси $OY$, поэтому его координаты $(0, y_0)$. Расстояние от центра сферы до любой точки на окружностях оснований равно радиусу сферы $R_с$.

Запишем квадрат расстояния от центра $O_с(0, y_0)$ до точек $A$ и $B$:

$R_с^2 = (R - 0)^2 + (0 - y_0)^2 = R^2 + y_0^2$

$R_с^2 = (r - 0)^2 + (h - y_0)^2 = r^2 + h^2 - 2hy_0 + y_0^2$

Приравняем правые части уравнений:

$R^2 + y_0^2 = r^2 + h^2 - 2hy_0 + y_0^2$

$R^2 = r^2 + h^2 - 2hy_0$

Выразим $y_0$:

$2hy_0 = r^2 + h^2 - R^2$

$y_0 = \frac{r^2 + h^2 - R^2}{2h}$

Подставим известные значения $r=1$, $R=1+\sqrt{2}$, $h=\sqrt{2}$:

$y_0 = \frac{1^2 + (\sqrt{2})^2 - (1+\sqrt{2})^2}{2\sqrt{2}} = \frac{1 + 2 - (1 + 2\sqrt{2} + 2)}{2\sqrt{2}} = \frac{3 - (3 + 2\sqrt{2})}{2\sqrt{2}} = \frac{-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = -1 \text{ см}$.

Отрицательное значение $y_0$ означает, что центр сферы находится на 1 см ниже плоскости большего основания.

3. Найдем радиус сферы $R_с$, подставив $y_0$ в одно из уравнений для $R_с^2$. Возьмем первое:

$R_с^2 = R^2 + y_0^2 = (1+\sqrt{2})^2 + (-1)^2 = (1 + 2\sqrt{2} + 2) + 1 = 4 + 2\sqrt{2}$

$R_с = \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \text{ см}$.

Ответ: $R_с = \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \text{ см}$.