Номер 29, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

29. Около конуса, радиус основания которого равен 1 см, а образующая равна 2 см, описана сфера. Найдите ее радиус.

Дано:

Конус, у которого радиус основания $r = 1$ см.

Образующая конуса $l = 2$ см.

Около конуса описана сфера.

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Сфера, описанная около конуса, проходит через его вершину и все точки окружности основания. Это означает, что центр описанной сферы лежит на оси конуса.

Рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Сечением конуса будет равнобедренный треугольник, а сечением сферы — большая окружность, которая описана около этого треугольника. Радиус этой окружности и есть искомый радиус сферы $R$.

Основание этого равнобедренного треугольника равно диаметру основания конуса $2r$, а боковые стороны равны образующей $l$.

Сначала найдем высоту конуса $H$. Высота, радиус основания и образующая конуса образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$l^2 = H^2 + r^2$

Выразим и вычислим высоту $H$:

$H = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ см.

Теперь снова рассмотрим осевое сечение. Пусть $O$ — центр описанной сферы, который лежит на высоте конуса $H$. Пусть $R$ — радиус сферы. Расстояние от центра сферы $O$ до вершины конуса равно $R$, и расстояние от центра сферы $O$ до любой точки на окружности основания также равно $R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания конуса $r$ и отрезок на оси конуса, равный $(H - R)$, а гипотенузой — радиус сферы $R$. Применим к этому треугольнику теорему Пифагора:

$R^2 = r^2 + (H - R)^2$

Подставим известные значения $r=1$ и $H=\sqrt{3}$ и решим уравнение относительно $R$:

$R^2 = 1^2 + (\sqrt{3} - R)^2$

$R^2 = 1 + ((\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot R + R^2)$

$R^2 = 1 + 3 - 2\sqrt{3}R + R^2$

$R^2 = 4 - 2\sqrt{3}R + R^2$

Вычтем $R^2$ из обеих частей уравнения:

$0 = 4 - 2\sqrt{3}R$

Перенесем член с $R$ в левую часть:

$2\sqrt{3}R = 4$

Выразим $R$:

$R = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$R = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $R = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.