Номер 35, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

35. Радиус одного основания усеченного конуса равен 4 см, высота – 7 см, радиус описанной сферы – 5 см. Найдите радиус второго основания усеченного конуса.

Дано:

Радиус одного основания усеченного конуса $r_1 = 4$ см

Высота усеченного конуса $h = 7$ см

Радиус описанной сферы $R = 5$ см

Все величины даны в сантиметрах, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Радиус второго основания усеченного конуса $r_2$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса и описанной около него сферы. Сечением сферы является окружность радиуса $R$, а сечением усеченного конуса — равнобокая трапеция, вписанная в эту окружность, так как основания конуса являются окружностями, лежащими на сфере.

Введем декартову систему координат, поместив ее начало в центр сферы. Ось $Oy$ направим вдоль оси симметрии конуса. Тогда уравнение окружности, являющейся сечением сферы, будет иметь вид: $x^2 + y^2 = R^2$.

Основания конуса (и трапеции в сечении) перпендикулярны оси $Oy$. Пусть плоскость одного основания пересекает ось $Oy$ в точке с координатой $y_1$, а плоскость второго основания — в точке с координатой $y_2$. Радиусы оснований конуса $r_1$ и $r_2$ — это значения координаты $x$ для точек, лежащих на окружности сечения и на соответствующих основаниях.

Для первого основания с радиусом $r_1 = 4$ см точки на окружности имеют координаты $(r_1, y_1)$. Подставим эти координаты и радиус сферы $R = 5$ см в уравнение окружности:

$r_1^2 + y_1^2 = R^2$

$4^2 + y_1^2 = 5^2$

$16 + y_1^2 = 25$

$y_1^2 = 25 - 16 = 9$

Отсюда расстояние от центра сферы до плоскости первого основания равно $|y_1| = \sqrt{9} = 3$ см.

Высота усеченного конуса $h$ — это расстояние между плоскостями его оснований, то есть $h = |y_1 - y_2| = 7$ см. Так как $|y_1| = 3$ см, а высота $h = 7$ см, что больше, чем $2|y_1|$, основания конуса должны находиться по разные стороны от центра сферы (экваториальной плоскости $y=0$).

Пусть $y_1 = 3$ см. Тогда координата $y_2$ плоскости второго основания должна быть отрицательной. Найдем $y_2$ из условия высоты:

$h = y_1 - y_2$

$7 = 3 - y_2$

$y_2 = 3 - 7 = -4$ см.

Расстояние от центра сферы до плоскости второго основания равно $|y_2| = |-4| = 4$ см. Это значение меньше радиуса сферы $R=5$ см, следовательно, такое расположение возможно.

Теперь найдем радиус второго основания $r_2$. Точки этого основания, лежащие на сфере, имеют координаты $(r_2, y_2)$. Подставим их в уравнение окружности:

$r_2^2 + y_2^2 = R^2$

$r_2^2 + (-4)^2 = 5^2$

$r_2^2 + 16 = 25$

$r_2^2 = 25 - 16 = 9$

Поскольку радиус является положительной величиной, получаем:

$r_2 = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.