Номер 32, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

32. Высота конуса равна 8 см, образующая — 10 см. Найдите радиус описанной сферы.

Дано:

Высота конуса $H = 8$ см

Образующая конуса $L = 10$ см

Перевод в систему СИ:

$H = 0.08$ м

$L = 0.10$ м

Найти:

Радиус описанной сферы $R$

Решение:

Для нахождения радиуса описанной сферы рассмотрим осевое сечение конуса и сферы. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, а сечение сферы — большую окружность, которая описана около этого треугольника. Высота данного треугольника равна высоте конуса $H$, а его боковые стороны равны образующей конуса $L$.

1. Сначала найдем радиус основания конуса $r$. Высота $H$, радиус основания $r$ и образующая $L$ конуса образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой. Согласно теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + r^2$

Выразим и вычислим радиус основания $r$:

$r^2 = L^2 - H^2$

$r = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

2. Центр $O$ описанной сферы лежит на оси симметрии конуса, которая совпадает с высотой $AM$ равнобедренного треугольника в сечении (где $A$ — вершина конуса, $M$ — центр основания).

Пусть $R$ — радиус описанной сферы. Расстояние от центра сферы $O$ до вершины конуса $A$ равно радиусу $R$ ($OA = R$). Расстояние от центра сферы $O$ до любой точки на окружности основания, например, точки $B$, также равно радиусу $R$ ($OB = R$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMB$, образованный радиусом основания конуса $MB=r$, отрезком высоты $OM$ и радиусом сферы $OB=R$.

Длина отрезка $OM$ равна разности высоты конуса $H$ и расстояния $OA=R$ (так как точка $O$ находится на отрезке $AM$):

$OM = AM - AO = H - R$

Применим теорему Пифагора к треугольнику $\triangle OMB$:

$OB^2 = OM^2 + MB^2$

Подставим в это уравнение известные нам величины и выражения:

$R^2 = (H - R)^2 + r^2$

$R^2 = (8 - R)^2 + 6^2$

Теперь решим полученное уравнение относительно $R$:

$R^2 = 64 - 16R + R^2 + 36$

Сокращаем $R^2$ с обеих сторон:

$0 = 64 - 16R + 36$

$0 = 100 - 16R$

Переносим $16R$ в левую часть:

$16R = 100$

$R = \frac{100}{16} = \frac{25}{4} = 6.25$ см.

Ответ: радиус описанной сферы равен 6,25 см.