Номер 28, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

дите радиус вписанной сферы.

28. Образующая усеченного конуса равна 2 см, площадь осевого сечения 3 см. Найдите радиус вписанной сферы.

Дано:

Усеченный конус

Образующая $l = 2$ см

Площадь осевого сечения $S_{ос} = 3$ см²

В конус вписана сфера

$l = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$S_{ос} = 3 \text{ см}^2 = 3 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

Радиус вписанной сферы $r_{сф}$

Решение:

Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобокую трапецию. Основаниями этой трапеции являются диаметры оснований конуса (обозначим их радиусы как $R$ и $r$, тогда основания трапеции равны $2R$ и $2r$), а боковыми сторонами — образующие конуса ($l$). Высота трапеции является высотой усеченного конуса ($h$).

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S_{ос} = \frac{2R + 2r}{2} \cdot h = (R+r) \cdot h$

По условию, в усеченный конус вписана сфера. Это возможно только в том случае, если в его осевое сечение (равнобокую трапецию) можно вписать окружность. Свойство описанной около окружности трапеции гласит, что суммы длин ее противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает:

$2R + 2r = l + l = 2l$

Разделив обе части уравнения на 2, получаем важное соотношение:

$R+r = l$

Подставим известное значение образующей $l=2$ см:

$R+r = 2 \text{ см}$

Теперь мы можем подставить это выражение в формулу для площади осевого сечения:

$S_{ос} = (R+r) \cdot h = l \cdot h$

Используя данные из условия ($S_{ос}=3$ см² и $l=2$ см), найдем высоту конуса $h$:

$3 = 2 \cdot h$

$h = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ см}$

Диаметр вписанной в усеченный конус сферы равен высоте конуса $h$. Следовательно, радиус вписанной сферы $r_{сф}$ равен половине высоты:

$r_{сф} = \frac{h}{2}$

Подставим найденное значение высоты:

$r_{сф} = \frac{1.5}{2} = 0.75 \text{ см}$

Ответ: 0.75 см.