Номер 27, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

27. В усеченном конусе радиус большего основания равен 2 см, образующая наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$. Найдите радиус вписанной сферы.

Дано:
Усеченный конус, в который можно вписать сферу.
Радиус большего основания: $R = 2$ см.
Угол наклона образующей к плоскости основания: $\alpha = 60°$.

Перевод в СИ:
$R = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.

Найти:
Радиус вписанной сферы $r_{сф}$.

Решение:

Осевое сечение усеченного конуса, в который вписана сфера, представляет собой равнобокую трапецию с вписанной в нее окружностью. Эта окружность является большим кругом вписанной сферы. Пусть $R$ и $r$ – радиусы большего и меньшего оснований конуса, $l$ – его образующая, а $H$ – высота.

Радиус вписанной сферы $r_{сф}$ равен радиусу окружности, вписанной в трапецию. Диаметр этой окружности равен высоте трапеции, поэтому $r_{сф} = \frac{H}{2}$.

Важным свойством усеченного конуса, в который можно вписать сферу, является то, что его образующая равна сумме радиусов оснований: $l = R + r$. Это вытекает из свойства описанного четырехугольника (осевого сечения), у которого суммы длин противоположных сторон равны: $2R + 2r = l + l$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуется высотой $H$, образующей $l$ (гипотенуза) и катетом, равным разности радиусов $R-r$. Угол между образующей и большим основанием в этом треугольнике равен заданному углу $\alpha$.

Из теоремы Пифагора для этого треугольника следует: $l^2 = H^2 + (R-r)^2$. Подставив условие $l = R+r$, получаем:

$(R+r)^2 = H^2 + (R-r)^2$

$R^2 + 2Rr + r^2 = H^2 + R^2 - 2Rr + r^2$

$4Rr = H^2$, откуда $H = 2\sqrt{Rr}$.

Из того же прямоугольного треугольника можно записать тригонометрическое соотношение:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{R-r}$.

Подставим в него выражение для $H$ и известные значения $R=2$ см и $\alpha=60°$ ($\tan(60°) = \sqrt{3}$):

$\tan(60°) = \frac{2\sqrt{2r}}{2-r} \implies \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{2r}}{2-r}$.

Чтобы решить это уравнение относительно $r$, возведем обе части в квадрат:

$3 = \frac{(2\sqrt{2r})^2}{(2-r)^2} = \frac{8r}{4 - 4r + r^2}$.

$3(4 - 4r + r^2) = 8r$

$12 - 12r + 3r^2 = 8r$

$3r^2 - 20r + 12 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-20)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 400 - 144 = 256 = 16^2$.

Корни уравнения: $r = \frac{20 \pm 16}{6}$.

$r_1 = \frac{20 + 16}{6} = 6$; $r_2 = \frac{20 - 16}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Радиус меньшего основания $r$ должен быть меньше радиуса большего основания ($r < R = 2$ см), поэтому подходит только корень $r = \frac{2}{3}$ см.

Теперь найдем радиус вписанной сферы. Мы знаем, что $r_{сф} = \frac{H}{2}$ и $H = 2\sqrt{Rr}$, следовательно, $r_{сф} = \sqrt{Rr}$.

Подставляем найденные значения $R$ и $r$:

$r_{сф} = \sqrt{2 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.