Номер 25, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

25. В усеченный конус, радиусы оснований которого равны 2 см и 1 см, вписана сфера. Найдите высоту усеченного конуса.

Дано:

Усеченный конус.
Радиус большего основания $R = 2 \text{ см}$.
Радиус меньшего основания $r = 1 \text{ см}$.
В конус вписана сфера.

$R = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$r = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Высоту усеченного конуса $H$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию, в которую вписана окружность (сечение вписанной сферы).

Основаниями трапеции являются диаметры оснований усеченного конуса:
$a = 2R = 2 \cdot 2 = 4 \text{ см}$
$b = 2r = 2 \cdot 1 = 2 \text{ см}$

Боковая сторона трапеции равна образующей усеченного конуса $l$. Высота трапеции равна высоте усеченного конуса $H$.

Для того чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противоположных сторон были равны. Для нашей равнобедренной трапеции это свойство выглядит так:
$a + b = l + l = 2l$

Подставим значения оснований:
$4 + 2 = 2l$
$6 = 2l$
$l = 3 \text{ см}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, образующей $l$ и разностью радиусов оснований $(R-r)$. В этом треугольнике $l$ является гипотенузой, а $H$ и $(R-r)$ — катетами. По теореме Пифагора:
$l^2 = H^2 + (R-r)^2$

Выразим высоту $H$:
$H^2 = l^2 - (R-r)^2$

Подставим известные значения:
$H^2 = 3^2 - (2-1)^2$
$H^2 = 9 - 1^2$
$H^2 = 8$
$H = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \text{ см}$

Альтернативный способ:
Можно вывести общую формулу для высоты. Из свойства описанной трапеции имеем $l = R+r$. Подставим это в формулу теоремы Пифагора:
$(R+r)^2 = H^2 + (R-r)^2$
$H^2 = (R+r)^2 - (R-r)^2$
Используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$H^2 = ((R+r)-(R-r))((R+r)+(R-r))$
$H^2 = (2r)(2R) = 4Rr$
$H = \sqrt{4Rr} = 2\sqrt{Rr}$
Подставив наши значения $R=2$ и $r=1$:
$H = 2\sqrt{2 \cdot 1} = 2\sqrt{2} \text{ см}$

Ответ: $2\sqrt{2} \text{ см}$.