Номер 31, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

31. Радиус основания конуса равен 1 см. Образующая наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите радиус описанной сферы.

Дано:

Радиус основания конуса $r = 1$ см.

Угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 45^\circ$.

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Центр сферы, описанной около конуса, лежит на оси конуса. Рассмотрим осевое сечение конуса и сферы. Сечением конуса является равнобедренный треугольник, а сечением сферы — большая окружность, которая описана около этого треугольника. Радиус этой окружности равен радиусу описанной сферы $R$.

Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник, являющийся осевым сечением конуса, где $A$ — вершина конуса, $BC$ — диаметр основания, а точка $O$ — центр основания. Тогда $AO$ — высота конуса ($H$), а $OC$ — его радиус ($r$).

Треугольник $AOC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$. Угол между образующей $AC$ и плоскостью основания — это угол $\angle ACO$. По условию, $\angle ACO = 45^\circ$.

Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, то второй острый угол, $\angle CAO$, равен:

$\angle CAO = 90^\circ - \angle ACO = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку углы $\angle ACO$ и $\angle CAO$ равны, треугольник $AOC$ является равнобедренным. Это означает, что его катеты равны:

$H = AO = OC = r = 1$ см.

Теперь рассмотрим всё осевое сечение — треугольник $ABC$. Угол при его вершине $A$, $\angle BAC$, состоит из двух углов $\angle CAO$ и $\angle BAO$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, $\angle CAO = \angle BAO = 45^\circ$.

$\angle BAC = 2 \cdot \angle CAO = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.

Следовательно, осевое сечение конуса является прямоугольным треугольником. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы, а ее радиус равен половине длины гипотенузы.

Гипотенузой треугольника $ABC$ является диаметр основания конуса $BC$.

$BC = 2r = 2 \cdot 1 = 2$ см.

Таким образом, радиус описанной сферы $R$ равен половине $BC$:

$R = \frac{BC}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Ответ: $1$ см.