Номер 24, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24. Высота конуса равна 8 см, образующая – 10 см. Найдите радиус вписанной сферы.

Дано:

Высота конуса $H = 8$ см

Образующая конуса $L = 10$ см

Перевод в систему СИ:

$H = 8$ см = $0.08$ м

$L = 10$ см = $0.1$ м

Найти:

Радиус вписанной сферы $r$

Решение:

Для нахождения радиуса вписанной сферы рассмотрим осевое сечение конуса. Осевое сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность. Радиус этой окружности и есть искомый радиус $r$ вписанной сферы.

Высота этого треугольника равна высоте конуса $H$, боковая сторона — образующей $L$, а половина основания — радиусу основания конуса $R$.

1. Сначала найдем радиус основания конуса $R$. Высота $H$, радиус $R$ и образующая $L$ образуют прямоугольный треугольник, где $L$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + R^2$

Выразим $R$:

$R^2 = L^2 - H^2$

Подставим известные значения:

$R^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$

$R = \sqrt{36} = 6$ см.

2. Теперь найдем радиус $r$ вписанной сферы. Центр вписанной сферы лежит на высоте конуса. Рассмотрим два подобных прямоугольных треугольника в осевом сечении:

• Первый треугольник: образован высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей $L$.
• Второй треугольник: образован радиусом вписанной сферы $r$ (перпендикулярным к образующей) и отрезком высоты от вершины конуса до центра сферы, который равен $H-r$.

Эти треугольники подобны по общему острому углу при вершине конуса. Из подобия следует отношение соответствующих сторон:

$\frac{r}{R} = \frac{H - r}{L}$

Подставим известные числовые значения $H = 8$, $R = 6$ и $L = 10$:

$\frac{r}{6} = \frac{8 - r}{10}$

Для решения этого уравнения используем свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$10 \cdot r = 6 \cdot (8 - r)$

$10r = 48 - 6r$

Перенесем члены с $r$ в левую часть уравнения:

$10r + 6r = 48$

$16r = 48$

$r = \frac{48}{16}$

$r = 3$ см.

Ответ: 3 см.