Номер 20, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Найдите сторону основания правильной шестиугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен 1 см.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида, описанная около конуса.

Радиус основания конуса $r = 1$ см.

$r = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Сторону основания пирамиды $a$.

Решение:

По условию задачи правильная шестиугольная пирамида описана около конуса. Это означает, что основание пирамиды, которое является правильным шестиугольником, описано около основания конуса, которое является кругом. Вершины пирамиды и конуса совпадают.

Следовательно, радиус основания конуса $r$ является радиусом окружности, вписанной в правильный шестиугольник в основании пирамиды. Этот радиус также называют апофемой шестиугольника.

Обозначим сторону основания правильного шестиугольника как $a$.

Правильный шестиугольник можно разделить на шесть одинаковых равносторонних треугольников, соединив его центр с вершинами. Сторона каждого такого треугольника равна стороне шестиугольника $a$.

Радиус вписанной окружности $r$ (апофема) является высотой одного из этих равносторонних треугольников.

Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Так как в нашем случае радиус вписанной окружности равен высоте этого треугольника ($r = h$), мы можем записать следующее соотношение:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим в эту формулу известное значение радиуса $r = 1$ см:

$1 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Теперь выразим из этого уравнения сторону $a$:

$a = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$a = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Таким образом, сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.