Номер 15, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, вписанной в конус, радиус основания которого равен 1 см.

Дано:

Правильная треугольная пирамида, вписанная в конус.

Радиус основания конуса $R = 1$ см.

Перевод в систему СИ:
$R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Сторону основания пирамиды $a$.

Решение:

По условию, правильная треугольная пирамида вписана в конус. Это означает, что основание пирамиды, которым является правильный (равносторонний) треугольник, вписано в окружность, являющуюся основанием конуса. Вершины пирамиды и конуса совпадают.

Таким образом, радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника в основании пирамиды, равен радиусу основания конуса: $R = 1$ см.

Найдем связь между стороной правильного треугольника ($a$) и радиусом описанной около него окружности ($R$).

Пусть $ABC$ — равносторонний треугольник, вписанный в окружность с центром $O$ и радиусом $R$. Сторона треугольника равна $a$. Рассмотрим треугольник $AOB$. В нем стороны $OA$ и $OB$ равны радиусу $R$. Угол $\angle AOB$ является центральным углом, опирающимся на дугу $AB$. Так как треугольник $ABC$ правильный, то все дуги, стягиваемые его сторонами, равны: $360^\circ / 3 = 120^\circ$.

Следовательно, $\angle AOB = 120^\circ$.

Применим к треугольнику $AOB$ теорему косинусов, чтобы найти сторону $AB = a$:

$a^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$

$a^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(120^\circ)$

Зная, что $\cos(120^\circ) = -0.5$ или $-\frac{1}{2}$, подставляем значение:

$a^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$a^2 = 2R^2 + R^2$

$a^2 = 3R^2$

Отсюда находим сторону $a$:

$a = \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3}$

Теперь подставим заданное значение радиуса $R = 1$ см:

$a = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.

Ответ: $\sqrt{3}$ см.