Страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Периметр осевого сечения цилиндра, в который вписана сфера, равен 8 см. Найдите радиус сферы.

Дано:

Цилиндр, в который вписана сфера.

Периметр осевого сечения цилиндра $P = 8 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$P = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Радиус сферы $R$

Решение:

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d$.

Если в цилиндр вписана сфера, то её диаметр равен как высоте цилиндра, так и диаметру его основания. Пусть радиус сферы равен $R$, тогда её диаметр равен $2R$.

Следовательно, высота цилиндра $h = 2R$ и диаметр основания цилиндра $d = 2R$.

Это означает, что осевое сечение такого цилиндра является квадратом со стороной $a = 2R$.

Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4a$.

Подставим в эту формулу значение стороны $a = 2R$:

$P = 4 \cdot (2R) = 8R$

По условию задачи, периметр осевого сечения равен 8 см. Составим уравнение:

$8R = 8 \text{ см}$

Теперь найдем радиус сферы $R$:

$R = \frac{8}{8} \text{ см} = 1 \text{ см}$

Ответ: $1 \text{ см}$.

2. Площадь осевого сечения цилиндра, в который вписана сфера, равна 4 $\text{см}^2$. Найдите диаметр сферы.

Дано:

Площадь осевого сечения цилиндра $S = 4 \text{ см}^2$.

В цилиндр вписана сфера.

Перевод в систему СИ:

$S = 4 \text{ см}^2 = 4 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 4 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

Найти:

Диаметр сферы $d$.

Решение:

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d_{ц}$. Площадь этого прямоугольника $S$ вычисляется по формуле: $S = h \cdot d_{ц}$.

Условие, что сфера вписана в цилиндр, означает, что сфера касается верхнего и нижнего оснований цилиндра, а также его боковой поверхности. Из этого следует, что высота цилиндра равна диаметру вписанной сферы ($h = d$), и диаметр основания цилиндра также равен диаметру вписанной сферы ($d_{ц} = d$).

Следовательно, осевое сечение такого цилиндра является квадратом, сторона которого равна диаметру сферы $d$.

Площадь этого квадрата можно выразить через его сторону $d$:

$S = d \cdot d = d^2$

По условию задачи дано, что площадь осевого сечения равна $4 \text{ см}^2$. Подставим это значение в полученную формулу:

$d^2 = 4 \text{ см}^2$

Чтобы найти диаметр сферы, извлечем квадратный корень из значения площади:

$d = \sqrt{4 \text{ см}^2} = 2 \text{ см}$

Ответ: диаметр сферы равен $2 \text{ см}$.

3. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 2 см. Найдите радиус сферы, описанной около этого цилиндра.

Дано:

Диагональ осевого сечения цилиндра, $d = 2$ см.

$d = 0.02$ м.

Найти:

Радиус описанной сферы, $R_{сф}$ - ?

Решение:

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, проходящий через ось вращения цилиндра. Стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $D_{цил}$.

Сфера называется описанной около цилиндра, если окружности оснований цилиндра лежат на поверхности этой сферы. Центр такой сферы совпадает с центром цилиндра (серединой отрезка, соединяющего центры оснований).

Диагональ $d$ осевого сечения цилиндра соединяет две точки на окружностях оснований, которые являются диаметрально противоположными относительно центра сферы. Следовательно, диагональ осевого сечения цилиндра равна диаметру $D_{сф}$ описанной около него сферы.

Мы имеем соотношение:

$d = D_{сф}$

Диаметр сферы связан с ее радиусом $R_{сф}$ следующим образом:

$D_{сф} = 2R_{сф}$

Из этих двух равенств следует:

$d = 2R_{сф}$

Теперь мы можем выразить радиус сферы и вычислить его значение, подставив известные данные:

$R_{сф} = \frac{d}{2}$

$R_{сф} = \frac{2 \text{ см}}{2} = 1 \text{ см}$

Ответ: радиус описанной сферы равен 1 см.

4. Около цилиндра высотой 2 см и радиусом основания 1 см описана сфера. Найдите ее радиус.

Дано:

Высота цилиндра $h = 2$ см

Радиус основания цилиндра $r = 1$ см

$h = 0.02$ м

$r = 0.01$ м

Найти:

Радиус сферы $R$.

Решение:

Когда сфера описана около цилиндра, это означает, что окружности оснований цилиндра лежат на поверхности сферы. Центр описанной сферы совпадает с центром симметрии цилиндра (серединой его высоты).

Для нахождения радиуса сферы рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой, равной высоте цилиндра $h$, и шириной, равной диаметру основания цилиндра $2r$. Осевое сечение сферы — это большой круг. Таким образом, в осевом сечении мы имеем прямоугольник, вписанный в окружность.

Радиус описанной сферы $R$ будет равен расстоянию от центра до любой из вершин этого прямоугольника. Этот радиус можно найти по теореме Пифагора. Он будет являться гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат радиус основания цилиндра $r$ и половина высоты цилиндра $\frac{h}{2}$.

Математически это выражается формулой:

$R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2$

Подставим в формулу числовые значения, данные в условии:

$r = 1$ см

$h = 2$ см

Тогда половина высоты будет:

$\frac{h}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см

Теперь вычислим квадрат радиуса сферы:

$R^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

Отсюда находим радиус сферы $R$:

$R = \sqrt{2}$ см

Ответ: радиус сферы равен $\sqrt{2}$ см.

5. Около цилиндра, радиус основания которого равен 1 см, описана сфера радиусом 2 см. Найдите высоту цилиндра.

Дано:

Радиус основания цилиндра $r = 1$ см

Радиус описанной сферы $R = 2$ см

Перевод в систему СИ:

$r = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

$R = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Высоту цилиндра $h$

Решение:

Так как сфера описана около цилиндра, окружности его оснований лежат на поверхности сферы. Центр сферы совпадает с серединой высоты цилиндра.

Рассмотрим осевое сечение, проходящее через ось цилиндра. В сечении мы получим прямоугольник (сечение цилиндра), вписанный в круг (большой круг сферы). Высота прямоугольника равна высоте цилиндра $h$, а ширина — диаметру основания цилиндра $2r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$ (гипотенуза), радиусом основания цилиндра $r$ (катет) и половиной высоты цилиндра $\frac{h}{2}$ (второй катет). Этот треугольник соединяет центр сферы, центр основания цилиндра и точку на краю основания.

По теореме Пифагора, связь между этими величинами выражается формулой:

$R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2$

Выразим из этого уравнения квадрат половины высоты:

$\left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2 - r^2$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\left(\frac{h}{2}\right)^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти половину высоты:

$\frac{h}{2} = \sqrt{3}$ см

Следовательно, полная высота цилиндра $h$ равна:

$h = 2 \cdot \frac{h}{2} = 2\sqrt{3}$ см

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.

6. Около цилиндра, высота которого равна 1 см, описана сфера радиусом 1 см. Найдите радиус основания цилиндра.

7. Р

Дано:

Высота цилиндра $h = 1$ см

Радиус описанной сферы $R = 1$ см

$h = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус основания цилиндра $r$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Сечением сферы является большая окружность, радиус которой равен радиусу сферы $R$. Сечением цилиндра является прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра $h$, а ширина равна диаметру основания цилиндра $2r$.

Поскольку сфера описана около цилиндра, вершины этого прямоугольника лежат на большой окружности сферы. Центр сферы совпадает с центром симметрии цилиндра и лежит на середине его оси.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$ (гипотенуза), радиусом основания цилиндра $r$ (один катет) и половиной высоты цилиндра $\frac{h}{2}$ (второй катет). Связь между этими величинами можно выразить с помощью теоремы Пифагора:

$R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2$

Из этой формулы выразим искомый радиус основания цилиндра $r$:

$r^2 = R^2 - \left(\frac{h}{2}\right)^2$

$r = \sqrt{R^2 - \left(\frac{h}{2}\right)^2}$

Подставим в формулу числовые значения из условия задачи: $R=1$ см и $h=1$ см.

$r = \sqrt{1^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4-1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}}$

$r = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: радиус основания цилиндра равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

7. В основании прямой призмы правильный треугольник со стороной 1 см. Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в эту призму.

Дано:

Правильная треугольная призма.

Сторона основания (правильного треугольника), $a = 1$ см.

В призму вписан цилиндр.

Перевод в систему СИ:
$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус основания цилиндра, $r$ - ?

Решение:

По условию, в прямую призму, в основании которой лежит правильный треугольник, вписан цилиндр. Это означает, что основание цилиндра (окружность) вписано в основание призмы (правильный треугольник).

Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$.

Радиус $r$ окружности, вписанной в правильный треугольник, вычисляется по формуле:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

где $a$ — сторона треугольника.

Подставим известное значение стороны $a = 1$ см в формулу:

$r = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$ см.

8. В основании прямой призмы прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в эту призму.

Дано:

Призма прямая, в основании прямоугольный треугольник.
Катет $a = 6$ см
Катет $b = 8$ см

$a = 0.06$ м
$b = 0.08$ м

Найти:

Радиус окружности основания вписанного цилиндра $r$.

Решение:

Так как цилиндр вписан в прямую призму, его основание (окружность) вписано в основание призмы (прямоугольный треугольник). Следовательно, радиус основания цилиндра равен радиусу окружности, вписанной в этот прямоугольный треугольник.

Обозначим катеты треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. По условию $a = 6$ см, $b = 8$ см.

Найдем длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

Подставим значения катетов и гипотенузы в формулу:

$r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

9. Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в единичный куб.

10. Решите уравнение

Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в единичный куб.

Дано:

Единичный куб.

Сторона куба $a = 1$.

В куб вписан цилиндр.

Найти:

Радиус окружности основания цилиндра, $r$.

Решение:

Единичный куб — это куб, у которого длина ребра равна единице, то есть $a=1$.

Если цилиндр вписан в куб, это означает, что его основания (окружности) касаются центров противоположных граней куба, а боковая поверхность цилиндра касается остальных четырех граней. Высота такого цилиндра равна ребру куба, $h = a = 1$.

Основание цилиндра представляет собой окружность, которая вписана в грань куба. Грань куба является квадратом со стороной, равной ребру куба, то есть $a=1$.

Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне этого квадрата. Следовательно, диаметр $d$ основания цилиндра равен стороне квадрата (ребру куба):

$d = a = 1$

Радиус окружности $r$ равен половине ее диаметра $d$:

$r = \frac{d}{2}$

Подставляя значение диаметра, получаем:

$r = \frac{1}{2} = 0.5$

Ответ: 0,5.

10. В правильную шестиугольную призму, со стороной основания 1 см, вписан цилиндр. Найдите радиус окружности основания этого цилиндра.

Дано:

Правильная шестиугольная призма.

Сторона основания призмы, $a = 1$ см.

В призму вписан цилиндр.

Перевод в систему СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

$r$ — радиус окружности основания цилиндра.

Решение:

Поскольку цилиндр вписан в правильную шестиугольную призму, его основание (окружность) вписано в основание призмы (правильный шестиугольник). Следовательно, радиус основания цилиндра $r$ равен радиусу окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $a$.

Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, называется апофемой. Для правильного шестиугольника радиус вписанной окружности $r$ связан со стороной шестиугольника $a$ следующей формулой:

$r = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Эту формулу можно вывести, рассмотрев правильный шестиугольник, который состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Радиус вписанной окружности $r$ является высотой одного из этих треугольников. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой $r$, половиной основания ($\frac{a}{2}$) и стороной $a$ (гипотенузой), имеем:

$a^2 = r^2 + (\frac{a}{2})^2$

$r^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$

$r = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим в формулу известное значение стороны основания $a = 1$ см:

$r = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

11. В основании прямой призмы правильный треугольник со стороной 1 см. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы.

Дано:

Призма - прямая, в основании которой лежит правильный треугольник.
Сторона основания призмы, $a = 1$ см.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Радиус окружности основания цилиндра, описанного около призмы, $R$.

Решение:

Цилиндр описан около прямой призмы. Это означает, что основания призмы (правильные треугольники) вписаны в основания цилиндра (окружности). Таким образом, радиус основания цилиндра совпадает с радиусом окружности, описанной около правильного треугольника, который является основанием призмы.

Радиус $R$ окружности, описанной около правильного (равностороннего) треугольника со стороной $a$, находится по формуле:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим в эту формулу значение стороны треугольника $a = 1$ см:

$R = \frac{1}{\sqrt{3}}$ см.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$R = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: радиус окружности основания цилиндра равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

12. В основании прямой призмы прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы.

Дано:

Прямая призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник.
Катет $a = 6$ см
Катет $b = 8$ см
Около призмы описан цилиндр.

$a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Радиус окружности основания цилиндра $R$ — ?

Решение:

Так как цилиндр описан около прямой призмы, его основаниями являются окружности, описанные около оснований призмы. Основание призмы — это прямоугольный треугольник. Таким образом, радиус основания цилиндра равен радиусу окружности, описанной около этого прямоугольного треугольника.

Известно, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, совпадает с серединой его гипотенузы, а радиус этой окружности равен половине длины гипотенузы.

Обозначим катеты треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. Для нахождения гипотенузы воспользуемся теоремой Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$

Подставим в формулу значения длин катетов: $c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

Теперь найдем длину гипотенузы: $c = \sqrt{100} = 10$ см

Радиус $R$ описанной окружности, который является и радиусом основания цилиндра, равен половине гипотенузы: $R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см

Ответ: 5 см.

13. В основании прямой призмы квадрат со стороной 1 см. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы.

Дано:

Призма - прямая, в основании которой лежит квадрат.
Сторона квадрата, $a = 1$ см.
Цилиндр описан около призмы.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус окружности основания цилиндра, $R$.

Решение:

Поскольку цилиндр описан около прямой призмы, это означает, что основания призмы вписаны в основания цилиндра. В данном случае, квадрат, являющийся основанием призмы, вписан в окружность, являющуюся основанием цилиндра.

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине его диагонали. Обозначим диагональ квадрата как $d$.

Найдем диагональ квадрата со стороной $a = 1$ см, используя теорему Пифагора:

$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Подставим известное значение стороны квадрата $a = 1$ см:

$d = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.

Радиус $R$ описанной окружности (и, соответственно, основания цилиндра) равен половине диагонали $d$:

$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: радиус окружности основания цилиндра равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

14. Около правильной шестиугольной призмы, со стороной основания 1 см, описан цилиндр. Найдите радиус окружности основания этого цилиндра.

Дано:

Правильная шестиугольная призма.

Сторона основания призмы, $a = 1$ см.

Около призмы описан цилиндр.

Найти:

Радиус окружности основания цилиндра, $R$ - ?

Решение:

Поскольку цилиндр описан около правильной шестиугольной призмы, основания призмы (которые являются правильными шестиугольниками) вписаны в окружности оснований цилиндра. Это означает, что радиус основания цилиндра совпадает с радиусом окружности, описанной около правильного шестиугольника.

Рассмотрим правильный шестиугольник. Его можно разделить на шесть одинаковых равносторонних треугольников с общей вершиной в центре шестиугольника. Стороны этих треугольников, исходящие из центра, являются радиусами $R$ описанной окружности, а основания этих треугольников являются сторонами $a$ самого шестиугольника.

В равностороннем треугольнике все стороны равны. Следовательно, радиус описанной окружности для правильного шестиугольника равен его стороне.

Формула, связывающая радиус $R$ описанной окружности и сторону $a$ правильного шестиугольника, выглядит так:

$R = a$

По условию задачи, сторона основания призмы равна 1 см:

$a = 1$ см

Подставляем это значение в формулу:

$R = 1$ см

Таким образом, радиус окружности основания описанного цилиндра равен 1 см.

Ответ: 1 см.

15. Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, вписанной в конус, радиус основания которого равен 1 см.

Дано:

Правильная треугольная пирамида, вписанная в конус.

Радиус основания конуса $R = 1$ см.

Перевод в систему СИ:
$R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Сторону основания пирамиды $a$.

Решение:

По условию, правильная треугольная пирамида вписана в конус. Это означает, что основание пирамиды, которым является правильный (равносторонний) треугольник, вписано в окружность, являющуюся основанием конуса. Вершины пирамиды и конуса совпадают.

Таким образом, радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника в основании пирамиды, равен радиусу основания конуса: $R = 1$ см.

Найдем связь между стороной правильного треугольника ($a$) и радиусом описанной около него окружности ($R$).

Пусть $ABC$ — равносторонний треугольник, вписанный в окружность с центром $O$ и радиусом $R$. Сторона треугольника равна $a$. Рассмотрим треугольник $AOB$. В нем стороны $OA$ и $OB$ равны радиусу $R$. Угол $\angle AOB$ является центральным углом, опирающимся на дугу $AB$. Так как треугольник $ABC$ правильный, то все дуги, стягиваемые его сторонами, равны: $360^\circ / 3 = 120^\circ$.

Следовательно, $\angle AOB = 120^\circ$.

Применим к треугольнику $AOB$ теорему косинусов, чтобы найти сторону $AB = a$:

$a^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$

$a^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(120^\circ)$

Зная, что $\cos(120^\circ) = -0.5$ или $-\frac{1}{2}$, подставляем значение:

$a^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$a^2 = 2R^2 + R^2$

$a^2 = 3R^2$

Отсюда находим сторону $a$:

$a = \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3}$

Теперь подставим заданное значение радиуса $R = 1$ см:

$a = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.

Ответ: $\sqrt{3}$ см.