Страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

34. Радиус меньшего основания усеченного конуса равен 1 см, образующая равна 2 см и составляет угол $45^\circ$ с плоскостью другого основания. Найдите радиус описанной сферы.

Дано:

Усеченный конус

Радиус меньшего основания, $r = 1 \text{ см}$

Образующая, $l = 2 \text{ см}$

Угол между образующей и плоскостью большего основания, $\alpha = 45^\circ$

Найти:

Радиус описанной сферы, $R_с$

Решение:

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию, вписанную в большую окружность описанной сферы. Радиус этой окружности и есть искомый радиус сферы $R_с$.

Пусть $R$ – радиус большего основания конуса, а $h$ – его высота.

1. Найдем высоту $h$ и радиус большего основания $R$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, образующей $l$ (в качестве гипотенузы) и разностью радиусов $R-r$ (в качестве катета). Угол между образующей $l$ и катетом $R-r$ равен $\alpha$.

Высота $h$ находится как катет, противолежащий углу $\alpha$:

$h = l \cdot \sin(\alpha) = 2 \cdot \sin(45^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \text{ см}$.

Разность радиусов $R-r$ находится как катет, прилежащий к углу $\alpha$:

$R - r = l \cdot \cos(\alpha) = 2 \cdot \cos(45^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \text{ см}$.

Зная, что $r = 1$ см, найдем $R$:

$R = r + \sqrt{2} = 1 + \sqrt{2} \text{ см}$.

2. Теперь найдем радиус $R_с$ описанной сферы. Центр описанной сферы лежит на оси симметрии усеченного конуса. Расположим осевое сечение в системе координат так, чтобы центр большего основания совпадал с началом координат (0, 0), а ось конуса совпадала с осью $OY$.

Тогда координаты точек на окружностях оснований будут:

– точка на окружности большего основания: $A(R, 0)$, т.е. $A(1+\sqrt{2}, 0)$.

– точка на окружности меньшего основания: $B(r, h)$, т.е. $B(1, \sqrt{2})$.

Центр описанной сферы $O_с$ лежит на оси $OY$, поэтому его координаты $(0, y_0)$. Расстояние от центра сферы до любой точки на окружностях оснований равно радиусу сферы $R_с$.

Запишем квадрат расстояния от центра $O_с(0, y_0)$ до точек $A$ и $B$:

$R_с^2 = (R - 0)^2 + (0 - y_0)^2 = R^2 + y_0^2$

$R_с^2 = (r - 0)^2 + (h - y_0)^2 = r^2 + h^2 - 2hy_0 + y_0^2$

Приравняем правые части уравнений:

$R^2 + y_0^2 = r^2 + h^2 - 2hy_0 + y_0^2$

$R^2 = r^2 + h^2 - 2hy_0$

Выразим $y_0$:

$2hy_0 = r^2 + h^2 - R^2$

$y_0 = \frac{r^2 + h^2 - R^2}{2h}$

Подставим известные значения $r=1$, $R=1+\sqrt{2}$, $h=\sqrt{2}$:

$y_0 = \frac{1^2 + (\sqrt{2})^2 - (1+\sqrt{2})^2}{2\sqrt{2}} = \frac{1 + 2 - (1 + 2\sqrt{2} + 2)}{2\sqrt{2}} = \frac{3 - (3 + 2\sqrt{2})}{2\sqrt{2}} = \frac{-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = -1 \text{ см}$.

Отрицательное значение $y_0$ означает, что центр сферы находится на 1 см ниже плоскости большего основания.

3. Найдем радиус сферы $R_с$, подставив $y_0$ в одно из уравнений для $R_с^2$. Возьмем первое:

$R_с^2 = R^2 + y_0^2 = (1+\sqrt{2})^2 + (-1)^2 = (1 + 2\sqrt{2} + 2) + 1 = 4 + 2\sqrt{2}$

$R_с = \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \text{ см}$.

Ответ: $R_с = \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \text{ см}$.

35. Радиус одного основания усеченного конуса равен 4 см, высота – 7 см, радиус описанной сферы – 5 см. Найдите радиус второго основания усеченного конуса.

Дано:

Радиус одного основания усеченного конуса $r_1 = 4$ см

Высота усеченного конуса $h = 7$ см

Радиус описанной сферы $R = 5$ см

Все величины даны в сантиметрах, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Радиус второго основания усеченного конуса $r_2$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса и описанной около него сферы. Сечением сферы является окружность радиуса $R$, а сечением усеченного конуса — равнобокая трапеция, вписанная в эту окружность, так как основания конуса являются окружностями, лежащими на сфере.

Введем декартову систему координат, поместив ее начало в центр сферы. Ось $Oy$ направим вдоль оси симметрии конуса. Тогда уравнение окружности, являющейся сечением сферы, будет иметь вид: $x^2 + y^2 = R^2$.

Основания конуса (и трапеции в сечении) перпендикулярны оси $Oy$. Пусть плоскость одного основания пересекает ось $Oy$ в точке с координатой $y_1$, а плоскость второго основания — в точке с координатой $y_2$. Радиусы оснований конуса $r_1$ и $r_2$ — это значения координаты $x$ для точек, лежащих на окружности сечения и на соответствующих основаниях.

Для первого основания с радиусом $r_1 = 4$ см точки на окружности имеют координаты $(r_1, y_1)$. Подставим эти координаты и радиус сферы $R = 5$ см в уравнение окружности:

$r_1^2 + y_1^2 = R^2$

$4^2 + y_1^2 = 5^2$

$16 + y_1^2 = 25$

$y_1^2 = 25 - 16 = 9$

Отсюда расстояние от центра сферы до плоскости первого основания равно $|y_1| = \sqrt{9} = 3$ см.

Высота усеченного конуса $h$ — это расстояние между плоскостями его оснований, то есть $h = |y_1 - y_2| = 7$ см. Так как $|y_1| = 3$ см, а высота $h = 7$ см, что больше, чем $2|y_1|$, основания конуса должны находиться по разные стороны от центра сферы (экваториальной плоскости $y=0$).

Пусть $y_1 = 3$ см. Тогда координата $y_2$ плоскости второго основания должна быть отрицательной. Найдем $y_2$ из условия высоты:

$h = y_1 - y_2$

$7 = 3 - y_2$

$y_2 = 3 - 7 = -4$ см.

Расстояние от центра сферы до плоскости второго основания равно $|y_2| = |-4| = 4$ см. Это значение меньше радиуса сферы $R=5$ см, следовательно, такое расположение возможно.

Теперь найдем радиус второго основания $r_2$. Точки этого основания, лежащие на сфере, имеют координаты $(r_2, y_2)$. Подставим их в уравнение окружности:

$r_2^2 + y_2^2 = R^2$

$r_2^2 + (-4)^2 = 5^2$

$r_2^2 + 16 = 25$

$r_2^2 = 25 - 16 = 9$

Поскольку радиус является положительной величиной, получаем:

$r_2 = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.

36. Найдите радиус сферы, описанной около усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 2 см и 4 см, а высота равна 5 см.

Дано:

Усеченный конус, вписанный в сферу.

Радиус меньшего основания конуса, $r_1 = 2$ см.

Радиус большего основания конуса, $r_2 = 4$ см.

Высота усеченного конуса, $h = 5$ см.

Найти:

Радиус описанной сферы, $R$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса и описанной около него сферы. Сечением конуса является равнобокая трапеция, а сечением сферы — большая окружность, которая является описанной около этой трапеции. Вершины трапеции лежат на этой окружности.

Пусть $R$ — радиус описанной сферы (и окружности в сечении). Основания трапеции равны диаметрам оснований конуса, то есть $2r_1 = 4$ см и $2r_2 = 8$ см. Высота трапеции равна высоте конуса $h = 5$ см.

Проведем ось симметрии трапеции, которая совпадает с осью конуса и проходит через центр описанной сферы $O$. Пусть центр сферы $O$ находится на расстоянии $x$ от плоскости большего основания конуса (и, соответственно, от большего основания трапеции).

Тогда расстояние от центра сферы $O$ до плоскости меньшего основания будет равно $h - x = 5 - x$ (предполагаем, что центр сферы находится между основаниями конуса).

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных радиусом сферы, радиусами оснований и расстояниями от центра сферы до плоскостей оснований.
1. Треугольник, образованный радиусом сферы $R$, радиусом большего основания $r_2$ и отрезком $x$. Гипотенуза этого треугольника — $R$, а катеты — $r_2$ и $x$. По теореме Пифагора:
$R^2 = r_2^2 + x^2$
$R^2 = 4^2 + x^2 = 16 + x^2$

2. Треугольник, образованный радиусом сферы $R$, радиусом меньшего основания $r_1$ и отрезком $(h - x)$. Гипотенуза — $R$, катеты — $r_1$ и $(h - x)$. По теореме Пифагора:
$R^2 = r_1^2 + (h - x)^2$
$R^2 = 2^2 + (5 - x)^2 = 4 + (5 - x)^2$

Приравняем правые части двух полученных уравнений, так как левые части равны $R^2$:
$16 + x^2 = 4 + (5 - x)^2$
Раскроем скобки в правой части:
$16 + x^2 = 4 + (25 - 10x + x^2)$
$16 + x^2 = 29 - 10x + x^2$
Сократим $x^2$ в обеих частях:
$16 = 29 - 10x$
Найдем $x$:
$10x = 29 - 16$
$10x = 13$
$x = 1.3$ см

Теперь, зная $x$, мы можем найти радиус сферы $R$, подставив значение $x$ в первое уравнение:
$R^2 = 16 + x^2$
$R^2 = 16 + (1.3)^2$
$R^2 = 16 + 1.69$
$R^2 = 17.69$
$R = \sqrt{17.69}$ см

Ответ: Радиус описанной сферы равен $\sqrt{17.69}$ см.

1. Найдите радиус сферы, вписанной в единичный куб.

Дано:

Единичный куб, длина ребра $a = 1$.

Найти:

Радиус вписанной сферы $R$.

Решение:

Сфера, вписанная в куб, касается центров всех шести граней куба. Это означает, что центр сферы совпадает с центром куба, а ее диаметр $D$ равен расстоянию между двумя противоположными гранями. Расстояние между противоположными гранями куба равно длине его ребра $a$.

Таким образом, диаметр вписанной сферы равен ребру куба:

$D = a$

Радиус сферы $R$ равен половине ее диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{a}{2}$

Поскольку куб является единичным, длина его ребра $a = 1$. Подставим это значение в формулу для радиуса:

$R = \frac{1}{2} = 0.5$

Ответ: $0.5$.

... квадрат радиусом $r$. Портер наименьший $r$, длинам акс...

2. В куб вписана сфера радиусом $1$ см. Найдите ребро куба.

Дано:

Радиус вписанной сферы $r = 1$ см.

Перевод в систему СИ:
$r = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Ребро куба $a$ - ?

Решение:

Сфера называется вписанной в куб, если она касается каждой из шести граней куба. Точки касания находятся в центрах граней. Из этого следует, что расстояние между центрами противоположных граней куба равно диаметру вписанной сферы.

В то же время, расстояние между противоположными гранями куба равно длине его ребра. Обозначим ребро куба как $a$, а диаметр сферы как $d$. Таким образом, мы можем записать следующее равенство:

$a = d$

Диаметр сферы $d$ в два раза больше ее радиуса $r$:

$d = 2r$

Нам дан радиус сферы $r = 1$ см. Подставим это значение в формулу для нахождения диаметра:

$d = 2 \times 1 \text{ см} = 2 \text{ см}$

Так как ребро куба равно диаметру вписанной сферы, то:

$a = 2 \text{ см}$

В единицах СИ расчет будет выглядеть так:

$d = 2 \times 0.01 \text{ м} = 0.02 \text{ м}$

$a = 0.02 \text{ м}$

Ответ: 2 см.

3. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную треугольную призму, если стороны основания призмы равны 1 см.

Дано:

Правильная треугольная призма
Сторона основания $a = 1$ см

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус вписанной сферы $R$

Решение:

Сфера, вписанная в призму, касается всех ее граней. Это означает, что центр сферы равноудален от всех граней призмы.

1. Условие касания оснований. Центр сферы должен быть равноудален от верхнего и нижнего оснований призмы. Если $H$ — высота призмы, а $R$ — радиус сферы, то расстояние от центра сферы до каждого из оснований равно $R$. Следовательно, высота призмы должна быть равна диаметру сферы: $H = 2R$.

2. Условие касания боковых граней. Центр сферы должен быть равноудален от трех боковых граней. Это означает, что проекция центра сферы на плоскость основания совпадает с центром окружности, вписанной в это основание. Радиус сферы $R$ при этом равен радиусу $r$ этой вписанной окружности.

Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса окружности, вписанной в основание призмы. Основанием является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 1$ см.

Радиус $r$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, находится по формуле:

$r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

Поскольку радиус сферы $R$ равен этому радиусу $r$, подставим известное значение стороны $a = 1$ см:

$R = r = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ см.

Ответ: $R = \frac{\sqrt{3}}{6}$ см.

4. В правильную треугольную призму вписана сфера радиусом 1 см.
Найдите высоту призмы.

Дано:
Правильная треугольная призма
Радиус вписанной сферы $r = 1$ см

$r = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:
Высоту призмы $H$

Решение:
По определению, сфера, вписанная в призму, касается всех ее граней. В данном случае это означает, что сфера касается двух оснований (верхнего и нижнего) и трех боковых граней призмы.
Поскольку призма является правильной, ее основания — это два равных правильных треугольника, расположенных в параллельных плоскостях. Высота призмы $H$ — это расстояние между этими плоскостями.
Так как вписанная сфера касается обоих оснований, расстояние между плоскостями оснований должно быть равно диаметру сферы $d$.
Следовательно, высота призмы равна диаметру вписанной сферы:
$H = d$
Диаметр сферы равен удвоенному радиусу:
$d = 2r$
Таким образом, мы можем найти высоту призмы:
$H = 2r$
Подставим в формулу значение радиуса, данное в условии задачи:
$H = 2 \cdot 1 \text{ см} = 2 \text{ см}$
(Условие касания боковых граней также выполняется. Для того чтобы сфера была вписана, ее радиус должен быть равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы. Так как основание — правильный треугольник, в него всегда можно вписать окружность. Это условие определяет сторону основания, но не влияет на нахождение высоты).

Ответ: 2 см.

5. Найдите высоту правильной шестиугольной призмы и радиус, вписанной в нее сферы, если сторона основания призмы равна 1 см.

Дано:

Правильная шестиугольная призма.
Сторона основания призмы $a = 1$ см.
В призму вписана сфера.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Высоту призмы $H$ - ?
Радиус вписанной сферы $R$ - ?

Решение:

Так как сфера вписана в правильную шестиугольную призму, она касается обоих оснований (верхнего и нижнего) и всех шести боковых граней.

Из условия касания боковых граней следует, что радиус вписанной сферы $R$ равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы. Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной $a$. Радиус $r$ окружности, вписанной в правильный шестиугольник (который также является его апофемой), вычисляется по формуле:

$R = r = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Подставим известное значение стороны основания $a = 1$ см:

$R = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Из условия касания верхнего и нижнего оснований призмы следует, что высота призмы $H$ равна диаметру вписанной сферы, то есть $2R$.

$H = 2R$

Подставим найденное значение радиуса $R$:

$H = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

Ответ: высота правильной шестиугольной призмы равна $\sqrt{3}$ см, а радиус вписанной в нее сферы равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

6. В призму, в основании которой прямоугольный треугольник с катетами, равными 1 см, вписана сфера. Найдите радиус сферы.

Дано:

Призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник.

Катет $a = 1$ см

Катет $b = 1$ см

В призму вписана сфера.

Перевод в систему СИ:

$a = 0.01$ м

$b = 0.01$ м

Найти:

Радиус сферы $R$.

Решение:

Для того чтобы в призму можно было вписать сферу, она должна быть прямой, а в ее основание можно вписать окружность. Сфера будет касаться обоих оснований призмы (верхнего и нижнего) и всех ее боковых граней.

Радиус вписанной сферы $R$ равен радиусу $r$ окружности, вписанной в треугольник в основании призмы. Высота призмы $H$ при этом должна быть равна диаметру сферы, то есть $H = 2R$.

Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, который лежит в основании призмы.

Основанием является прямоугольный треугольник с катетами $a = 1$ см и $b = 1$ см.

1. Найдем гипотенузу $c$ этого треугольника по теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ см.

2. Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, вычисляется по формуле:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

3. Подставим значения катетов $a, b$ и гипотенузы $c$:

$r = \frac{1 + 1 - \sqrt{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ см.

Поскольку радиус вписанной сферы $R$ равен радиусу $r$ окружности, вписанной в основание, то $R = r$.

$R = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: радиус сферы равен $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ см.

7. В призму, в основании которой равнобедренный треугольник со сторонами 2 см, 3 см, 3 см, вписана сфера. Найдите радиус сферы и высоту призмы.

Дано:

Призма, в основании которой лежит равнобедренный треугольник.

Стороны основания: $a = 3$ см, $b = 3$ см, $c = 2$ см.

В призму вписана сфера.

Перевод в систему СИ:

$a = 0.03$ м

$b = 0.03$ м

$c = 0.02$ м

Найти:

Радиус сферы $R$

Высоту призмы $H$

Решение:

Для того чтобы в призму можно было вписать сферу, призма должна быть прямой. Центр вписанной сферы будет равноудалён от оснований и боковых граней призмы. Из этого следует, что высота призмы $H$ равна диаметру вписанной сферы ($2R$), а радиус сферы $R$ равен радиусу $r$ окружности, вписанной в треугольник, лежащий в основании призмы.

1. Найдем радиус сферы $R$.

Радиус сферы $R$ равен радиусу $r$ окружности, вписанной в основание. Формула для радиуса вписанной окружности: $r = \frac{S}{p}$, где $S$ - площадь треугольника, а $p$ - его полупериметр.

Найдем полупериметр $p$ треугольника со сторонами $a=3$ см, $b=3$ см, $c=2$ см:

$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{3 + 3 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Для нахождения площади $S$ воспользуемся формулой Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{4(4-3)(4-3)(4-2)} = \sqrt{4 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см$^2$.

Теперь можем найти радиус вписанной окружности $r$, который и будет являться радиусом сферы $R$:

$R = r = \frac{S}{p} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

2. Найдем высоту призмы $H$.

Как было сказано ранее, высота прямой призмы, в которую вписана сфера, равна диаметру этой сферы:

$H = 2R$

$H = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см.

Ответ: радиус сферы равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см, высота призмы равна $\sqrt{2}$ см.

8. Сфера вписана в прямую четырехугольную призму, в основании которой ромб со стороной 1 см и острым углом $60^\circ$. Найдите радиус сферы и высоту призмы.

Дано:

Призма - прямая, четырехугольная.
Основание призмы - ромб.
Сторона ромба, $a = 1$ см.
Острый угол ромба, $\alpha = 60^{\circ}$.
В призму вписана сфера.

Перевод в СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус сферы $R$ - ?
Высоту призмы $H$ - ?

Решение:

Поскольку сфера вписана в прямую призму, она касается обоих оснований (верхнего и нижнего) и всех боковых граней призмы.

1. Из того, что сфера касается верхнего и нижнего оснований призмы, следует, что расстояние между основаниями, то есть высота призмы $H$, равно диаметру сферы $2R$.
$H = 2R$

2. Из того, что сфера касается боковых граней, следует, что ее экваториальное сечение (параллельное основаниям) представляет собой окружность, вписанную в основание призмы — ромб. Радиус этой вписанной окружности $r$ равен радиусу сферы $R$.
$R = r$

3. Диаметр окружности, вписанной в ромб, равен высоте этого ромба $h_{ромба}$.
$h_{ромба} = 2r$

Из этих соотношений следует, что высота призмы равна высоте ромба, лежащего в ее основании:
$H = 2R = 2r = h_{ромба}$

4. Найдем высоту ромба $h_{ромба}$. Высоту ромба можно вычислить по формуле, используя его сторону $a$ и острый угол $\alpha$:
$h_{ромба} = a \cdot \sin(\alpha)$

Подставим данные из условия задачи: $a = 1$ см и $\alpha = 60^{\circ}$.
$h_{ромба} = 1 \cdot \sin(60^{\circ}) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

5. Теперь мы можем найти высоту призмы $H$. Она равна высоте ромба:
$H = h_{ромба} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

6. Радиус вписанной сферы $R$ равен половине высоты призмы (или половине высоты ромба):
$R = \frac{H}{2} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см.

Ответ: радиус сферы равен $\frac{\sqrt{3}}{4}$ см, высота призмы равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

9. Сфера радиусом 1 см вписана в прямую четырехугольную призму, в основании которой ромб с острым углом $60^\circ$. Найдите сторону основания $a$ и высоту призмы $h$.

Дано:
Призма - прямая, четырехугольная.
Основание призмы - ромб.
Острый угол ромба: $\alpha = 60°$.
В призму вписана сфера.
Радиус вписанной сферы: $R = 1$ см.

$R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:
Сторону основания $a$ и высоту призмы $h$.

Решение:

Нахождение высоты призмы h

Поскольку сфера вписана в прямую призму, она касается ее верхнего и нижнего оснований. Высота прямой призмы $h$ равна расстоянию между ее основаниями. Это расстояние, в свою очередь, равно диаметру вписанной сферы $D$. Высоту призмы $h$ можно найти по формуле: $h = D = 2R$. Подставив значение радиуса $R = 1$ см, получаем: $h = 2 \cdot 1 = 2$ см.

Ответ: высота призмы $h = 2$ см.

Нахождение стороны основания a

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через центр сферы параллельно основаниям. В сечении будет ромб, в который вписана окружность (большой круг сферы). Радиус этой вписанной окружности равен радиусу сферы, $r = R = 1$ см. Высота ромба $h_{ромба}$ равна диаметру вписанной в него окружности. $h_{ромба} = 2r = 2 \cdot 1 = 2$ см. Высота ромба связана с его стороной $a$ и острым углом $\alpha$ по формуле: $h_{ромба} = a \cdot \sin(\alpha)$. Подставим известные значения: $\alpha = 60°$ и $h_{ромба} = 2$ см. $2 = a \cdot \sin(60°)$. Так как $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получим: $2 = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. Отсюда выразим сторону основания $a$: $a = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $a = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: сторона основания $a = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

10. Сфера вписана в прямую четырехугольную призму, в основании которой трапеция. Высота трапеции равна 2 см. Найдите высоту призмы и радиус вписанной сферы.

Дано:

Сфера вписана в прямую четырехугольную призму.

Основание призмы - трапеция.

Высота трапеции $h_{трап} = 2$ см.

$h_{трап} = 0.02$ м.

Найти:

Высоту призмы $H_{пр}$ и радиус вписанной сферы $R_{сф}$.

Решение:

Поскольку сфера вписана в прямую призму, она касается верхнего и нижнего оснований призмы. Расстояние между основаниями равно высоте призмы $H_{пр}$. Следовательно, высота призмы должна быть равна диаметру вписанной сферы $D_{сф}$.

$H_{пр} = D_{сф} = 2R_{сф}$

Также сфера касается всех боковых граней призмы. Это означает, что в основание призмы, то есть в трапецию, можно вписать окружность, которая является сечением сферы плоскостью, параллельной основаниям и проходящей через центр сферы (большой круг сферы).

Диаметр окружности, вписанной в трапецию, всегда равен высоте этой трапеции. В нашем случае диаметр этой окружности является диаметром вписанной сферы.

$D_{сф} = h_{трап}$

Из условия задачи мы знаем, что высота трапеции $h_{трап} = 2$ см.

Следовательно, диаметр вписанной сферы равен:

$D_{сф} = 2$ см.

Теперь мы можем найти радиус сферы, который равен половине ее диаметра:

$R_{сф} = \frac{D_{сф}}{2} = \frac{2 \text{ см}}{2} = 1$ см.

Высота призмы, как мы установили ранее, равна диаметру сферы:

$H_{пр} = D_{сф} = 2$ см.

Ответ: высота призмы равна 2 см, радиус вписанной сферы равен 1 см.

призмы и радиус вписанной сферы.

11. В правильную шестиугольную призму вписана сфера радиусом 1 см. Найдите сторону основания и высоту призмы.

Дано:

Правильная шестиугольная призма, в которую вписана сфера.

Радиус вписанной сферы $r = 1$ см.

$r = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Сторону основания призмы $a$, высоту призмы $H$.

Решение:

Поскольку сфера вписана в правильную шестиугольную призму, она касается верхнего и нижнего оснований, а также всех боковых граней призмы.

Высота призмы $H$ равна расстоянию между ее основаниями. Так как сфера касается обоих оснований, ее диаметр $d$ должен быть равен высоте призмы.

$H = d = 2r$

Подставив значение радиуса $r = 1$ см, получаем высоту призмы:

$H = 2 \cdot 1 = 2 \text{ см}$.

Теперь найдем сторону основания. Основанием призмы является правильный шестиугольник. Так как сфера касается всех боковых граней, то окружность, полученная в сечении сферы плоскостью, параллельной основаниям и проходящей через центр сферы, будет вписана в шестиугольник, который является сечением призмы этой же плоскостью. Радиус этой окружности равен радиусу сферы, то есть $r = 1$ см.

Для правильного шестиугольника радиус вписанной окружности (апофема) $r$ и его сторона $a$ связаны соотношением:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Выразим из этой формулы сторону $a$:

$a = \frac{2r}{\sqrt{3}}$

Подставим известное значение $r = 1$ см:

$a = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \text{ см}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$a = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см}$.

Ответ: сторона основания призмы равна $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ см, высота призмы равна 2 см.

12. Найдите радиус сферы, вписанной в единичный тетраэдр.

Дано:

Единичный правильный тетраэдр.

Длина ребра $a = 1$.

Найти:

Радиус вписанной сферы, $r$.

Решение:

Единичный тетраэдр — это правильный тетраэдр, все рёбра которого равны 1. Радиус вписанной в него сферы можно найти несколькими способами. Для развёрнутого ответа рассмотрим два из них.

Способ 1: Через объём и площадь поверхности

Радиус $r$ вписанной в выпуклый многогранник сферы можно найти по формуле, связывающей объём многогранника $V$ и площадь его полной поверхности $S_{полн}$:

$r = \frac{3V}{S_{полн}}$

Для использования этой формулы необходимо вычислить объём и площадь поверхности единичного тетраэдра.

1. Найдём площадь полной поверхности тетраэдра ($S_{полн}$).

Правильный тетраэдр состоит из четырёх одинаковых граней. Каждая грань является равносторонним треугольником со стороной $a=1$. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$S_{грани} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставив значение $a=1$, получаем:

$S_{грани} = \frac{1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Площадь полной поверхности тетраэдра равна сумме площадей четырёх граней:

$S_{полн} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$

2. Найдём объём тетраэдра ($V$).

Объём правильного тетраэдра с ребром $a$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Подставим значение $a=1$:

$V = \frac{1^3\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{12}$

3. Вычислим радиус вписанной сферы.

Теперь подставим найденные значения $V$ и $S_{полн}$ в исходную формулу для радиуса:

$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{12}}{\sqrt{3}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$r = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{4 \cdot 3} = \frac{\sqrt{6}}{12}$

Способ 2: Через высоту тетраэдра

Центр вписанной в правильный тетраэдр сферы совпадает с его геометрическим центром (центроидом). Известно, что центроид делит высоту тетраэдра $H$ в отношении 3:1, считая от вершины. Радиус вписанной сферы $r$ равен расстоянию от центра до любой из граней, что составляет $\frac{1}{4}$ высоты тетраэдра.

$r = \frac{1}{4}H$

Высота правильного тетраэдра с ребром $a$ вычисляется по формуле:

$H = a\sqrt{\frac{2}{3}}$

Для единичного тетраэдра с $a=1$ высота равна:

$H = 1 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Теперь найдём радиус вписанной сферы:

$r = \frac{1}{4} \cdot H = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{12}$

Оба способа решения приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{12}$.

13. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны 1 см.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Длина всех ребер $a = 1$ см.

Перевод в СИ:

$a = 0.01$ м.

Найти:

Радиус вписанной сферы $r$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом сечений. Все вычисления для удобства будем проводить в сантиметрах.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадратное основание, а $S$ — вершина. По условию, все ребра пирамиды равны $a = 1$ см. Это означает, что основание — квадрат со стороной $a=1$ см, а боковые грани — четыре равных равносторонних треугольника со стороной $a=1$ см.

Центр вписанной сферы лежит на высоте пирамиды $SO$, где $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата).

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через вершину $S$ и середины противоположных сторон основания, например, $M$ и $K$ сторон $BC$ и $AD$ соответственно. Сечением является равнобедренный треугольник $SMK$. Вписанная в пирамиду сфера касается основания и боковых граней, поэтому ее сечение будет окружностью, вписанной в треугольник $SMK$. Радиус этой окружности равен радиусу $r$ вписанной сферы.

1. Найдем элементы треугольника $SMK$.

Основание треугольника $MK$ равно стороне квадрата $ABCD$: $MK = AB = a = 1$ см.

Боковые стороны $SM$ и $SK$ являются апофемами (высотами боковых граней). Так как боковые грани — равносторонние треугольники со стороной $a$, их высота равна:

$SM = SK = h_a = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

2. Найдем высоту пирамиды $H = SO$, которая также является высотой треугольника $SMK$. Точка $O$ — середина отрезка $MK$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$:

Катет $OM = \frac{MK}{2} = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$ см.

По теореме Пифагора, $SO^2 = SM^2 - OM^2$:

$H^2 = SO^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$H = SO = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

3. Найдем радиус $r$ вписанной в треугольник $SMK$ окружности. Для этого используем формулу $r = \frac{S_{\triangle}}{p}$, где $S_{\triangle}$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Площадь треугольника $SMK$:

$S_{SMK} = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ см$^2$.

Полупериметр треугольника $SMK$:

$p_{SMK} = \frac{MK + SM + SK}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ см.

4. Вычислим радиус $r$:

$r = \frac{S_{SMK}}{p_{SMK}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{1 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2(1 + \sqrt{3})}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} - 1)$:

$r = \frac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} - 1)}{2(1 + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{3} - 1)} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2((\sqrt{3})^2 - 1^2)} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2(3 - 1)} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ см.

Ответ: $r = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ см.

14. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, у которой стороны основания равны 1 см, и двугранные углы при основании равны $60^{\circ}$.

Дано:

Пирамида - правильная шестиугольная

Сторона основания, $a = 1$ см

Двугранный угол при основании, $\alpha = 60^\circ$

В системе СИ:
$a = 0.01$ м

Найти:

Радиус вписанной сферы, $r$

Решение:

Центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на её высоте и равноудалён от плоскости основания и всех боковых граней. Расстояние от центра сферы до плоскости основания и до боковых граней равно радиусу вписанной сферы $r$.

Для нахождения радиуса рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через её высоту $H$ и апофему боковой грани $L$. Это сечение является равнобедренным треугольником. Вписанная в пирамиду сфера будет представлена в этом сечении как вписанная окружность радиуса $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой основания $h_{осн}$ и апофемой боковой грани $L$. Угол между катетом $h_{осн}$ и гипотенузой $L$ как раз и является двугранным углом при основании $\alpha$.

Сначала найдем длину апофемы основания $h_{осн}$. Основание — правильный шестиугольник со стороной $a$. Апофема правильного шестиугольника (она же — радиус вписанной в него окружности) вычисляется по формуле:
$h_{осн} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Подставляем значение $a = 1$ см:
$h_{осн} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см

Центр вписанной сферы лежит на высоте пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус вписанной сферы $r$ (как отрезок высоты пирамиды) и апофема основания $h_{осн}$. Гипотенузой будет отрезок, соединяющий центр основания с биссектрисой двугранного угла. Угол, прилежащий к катету $h_{осн}$ и противолежащий катету $r$, равен половине двугранного угла при основании, то есть $\frac{\alpha}{2}$.

Из этого прямоугольного треугольника имеем следующее тригонометрическое соотношение:
$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{h_{осн}}$

Выразим из этой формулы искомый радиус $r$:
$r = h_{осн} \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Подставим известные значения: $h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см и $\alpha = 60^\circ$.
$\frac{\alpha}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$
Значение тангенса этого угла: $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Теперь можем вычислить радиус:
$r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2} = 0.5$ см

Ответ: $0.5$ см.