Номер 36, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

36. Найдите радиус сферы, описанной около усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 2 см и 4 см, а высота равна 5 см.

Дано:

Усеченный конус, вписанный в сферу.

Радиус меньшего основания конуса, $r_1 = 2$ см.

Радиус большего основания конуса, $r_2 = 4$ см.

Высота усеченного конуса, $h = 5$ см.

Найти:

Радиус описанной сферы, $R$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса и описанной около него сферы. Сечением конуса является равнобокая трапеция, а сечением сферы — большая окружность, которая является описанной около этой трапеции. Вершины трапеции лежат на этой окружности.

Пусть $R$ — радиус описанной сферы (и окружности в сечении). Основания трапеции равны диаметрам оснований конуса, то есть $2r_1 = 4$ см и $2r_2 = 8$ см. Высота трапеции равна высоте конуса $h = 5$ см.

Проведем ось симметрии трапеции, которая совпадает с осью конуса и проходит через центр описанной сферы $O$. Пусть центр сферы $O$ находится на расстоянии $x$ от плоскости большего основания конуса (и, соответственно, от большего основания трапеции).

Тогда расстояние от центра сферы $O$ до плоскости меньшего основания будет равно $h - x = 5 - x$ (предполагаем, что центр сферы находится между основаниями конуса).

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных радиусом сферы, радиусами оснований и расстояниями от центра сферы до плоскостей оснований.
1. Треугольник, образованный радиусом сферы $R$, радиусом большего основания $r_2$ и отрезком $x$. Гипотенуза этого треугольника — $R$, а катеты — $r_2$ и $x$. По теореме Пифагора:
$R^2 = r_2^2 + x^2$
$R^2 = 4^2 + x^2 = 16 + x^2$

2. Треугольник, образованный радиусом сферы $R$, радиусом меньшего основания $r_1$ и отрезком $(h - x)$. Гипотенуза — $R$, катеты — $r_1$ и $(h - x)$. По теореме Пифагора:
$R^2 = r_1^2 + (h - x)^2$
$R^2 = 2^2 + (5 - x)^2 = 4 + (5 - x)^2$

Приравняем правые части двух полученных уравнений, так как левые части равны $R^2$:
$16 + x^2 = 4 + (5 - x)^2$
Раскроем скобки в правой части:
$16 + x^2 = 4 + (25 - 10x + x^2)$
$16 + x^2 = 29 - 10x + x^2$
Сократим $x^2$ в обеих частях:
$16 = 29 - 10x$
Найдем $x$:
$10x = 29 - 16$
$10x = 13$
$x = 1.3$ см

Теперь, зная $x$, мы можем найти радиус сферы $R$, подставив значение $x$ в первое уравнение:
$R^2 = 16 + x^2$
$R^2 = 16 + (1.3)^2$
$R^2 = 16 + 1.69$
$R^2 = 17.69$
$R = \sqrt{17.69}$ см

Ответ: Радиус описанной сферы равен $\sqrt{17.69}$ см.